Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 58 стр.

     Раньше говорилось о том, что из существования частных производных
в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из
справедливости равенства (1) следует

                          lim         Δf ( x0; y0 ) = 0 ,
                      Δx → 0; Δy→ 0

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно,
дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой
точке.

     Из сказанного следует, что существование обеих частных производных
функции в точке не означает, что функция дифференцируема в этой точке. В
курсе математического анализа доказывается теорема, что функция
дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции
непрерывны в этой точке.
     На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность
F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,