Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 96 стр.

  При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся
случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для
систем произвольного порядка.

     Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c
постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее
можно записать в виде:




                      (2)

 Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже
являются решениями этой системы.

2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 –
тоже являются решениями системы.

 Решения системы ищутся в виде:

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и
сократив на ekx, получаем:




Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и
достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:




 В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени
относительно k. Это уравнение называется характеристическим
уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней
соответствует ненулевое решение системы (2):