Высшая математика. Семёнова Т.В. - 104 стр.

           В первом случае принято говорить о прямой связи: с ростом ξ случайная
величина η имеет тенденцию к возрастанию.
    Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом ξ случайная
величина η имеет тенденцию к уменьшению или падению.
    Если примерно одинаковый вклад в сумму дают и положительные и
отрицательные произведения (xi – Mξ)(yj – Mη)pij, то можно сказать, что в
сумме они будут “гасить” друг друга и ковариация будет близка к нулю. В
этом случае не просматривается зависимость одной случайной величины от
другой.
           Легко показать, что если
           P((ξ = xi)∩(η = yj)) = P(ξ = xi)P(η = yj) (i = 1,2,…,n; j = 1,2,…,k),
òî cov(ξ; η)= 0.
     Действительно из (2) следует

                      (         )              (         )
 n     k
∑ ∑ ( xi − Mξ) y j − Mη P(ξ = xi )P η = y j =
i =1 j =1



                                         (          )(       )
      n                              k
= ∑ ( xi − Mξ)P(ξ = xi ) ⋅ ∑ y j − Mη P η = y j =
     i =1                           j =1


= M ( ξ − Mξ ) M ( η − Mη) = 0 ⋅ 0 = 0

    Здесь использовано очень важное свойство математического ожидания:
математическое ожидание отклонения случайной величины от ее
математического ожидания равно нулю.
    Доказательство (для дискретных случайных величин с конечным числом
значений).
                      n                       n                   n
M ( ξ − Mξ) = ∑ ( xi − Mξ) P( xi ) = ∑ xi P( xi ) − Mξ ∑ P( xi ) = Mξ − Mξ = 0
                     i =1                    i =1                i =1


           Ковариацию удобно представлять в виде

cov(ξ; η)=M(ξη–ξMη–ηMξ+MξMη)=M(ξη)–M(ξMη)–M(ηMξ)+M(MξMη)=

=M(ξη)–MηMξ–MξMη+MξMη=M(ξη)–MξMη

           Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию
их произведения минус произведение математических ожиданий.