Высшая математика. Семёнова Т.В. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

()
(
)
==
−
cov ;
;
ξη
σσ
ξη ξ η
σσ
ξη ξη
MMM
σξση
ξη
==DD;.
Для независимых ξ и η ρ
ξη
=0, так как в этом случае cov(ξ;η)=0
Обратного заключения сделать нельзя. Случайные величины могут
быть связаны даже функциональной зависимостью (каждому значению
одной случайной величины соответствует единственное значение другой
случайной величины), но коэффициент их корреляции будет равен нулю.
Примеры:
1. Пусть случайная величина ξ симметрично распределена около нуля.
Тогда Мξ=0. Пусть
η=ξ
2
. Тогда М(ξ η)=М(ξ
3
)=0, так ξ
3
тоже симметрично
распределена около нуля. С другой стороны МξМη=0, так как Мξ=0. Таким
образом
()
ρ
ξη ξ η
σσ
ξη
ξη
=
−
=
MMM
0
.
2. Пусть закон совместного распределения случайных величин ξ и η
задан таблицей
η
ξ
1 2
1 1/5 0 1/5
2 0 3/5 3/5
3 1/5 0 1/5
2/5 3/5
Проведём вычисления:
Mξ= ⋅ + ⋅ + ⋅ =1
1
5
2
3
5
3
1
5
2
;
Mη= ⋅ + ⋅ =1
2
5
2
3
5
8
5
;
Mξη = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =11
1
5
22
3
5
31
1
5
16
5
;
MMM
ξ
η
ξ
η
−
= 0
.
Отсюда следует, что ρ
ξη
=0. При этом очевидно, что имеет место
функциональная зависимость случайной величины η от случайной величины
ξ.
Коэффициент корреляции ρ
ξη
не меняет своей величины, если вместо
случайной величины ξ рассматривать случайную величину ξ
1
=ξ+à или ξ
2
=kξ
(à и 
    cov( ξ; η)       M (ξη) − MξMη
=                =                   ;
     σξσ η               σξσ η           σξ =   Dξ; σ η =   Dη.

        Для независимых ξ и η ρξη=0, так как в этом случае cov(ξ;η)=0
     Обратного заключения сделать нельзя. Случайные величины могут
быть связаны даже функциональной зависимостью (каждому значению
одной случайной величины соответствует единственное значение другой
случайной величины), но коэффициент их корреляции будет равен нулю.
     Примеры:
        1. Пусть случайная величина ξ симметрично распределена около нуля.
Тогда Мξ=0. Пусть η=ξ2. Тогда М(ξ η)=М(ξ3)=0, так ξ3 тоже симметрично
распределена  M (ξη) − MξMη
        ρξη =около нуля. С другой
                             = 0 стороны МξМη=0, так как Мξ=0. Таким
образом            σξσ η        .
     2. Пусть закон совместного распределения случайных величин ξ и η
задан таблицей
                                 η        1        2
                             ξ
                             1           1/5       0        1/5
                             2            0       3/5       3/5
                             3           1/5       0        1/5
                                         2/5      3/5
        Проведём вычисления:

           1      3     1            2     3 8
Mξ = 1 ⋅     + 2 ⋅ + 3 ⋅ = 2 Mη = 1 ⋅ + 2 ⋅ =
           5      5     5   ;        5     5 5;
               1          3      1 16
       Mξη = 1 ⋅ 1 ⋅
                 + 2 ⋅ 2 ⋅ + 3⋅1⋅ =
               5          5      5 5 ; Mξη − MξMη = 0 .
     Отсюда следует, что ρξη=0. При этом очевидно, что имеет место
функциональная зависимость случайной величины η от случайной величины
ξ.
      Коэффициент корреляции ρξη не меняет своей величины, если вместо
случайной величины ξ рассматривать случайную величину ξ1=ξ+à или ξ2=kξ
(à и

Страницы