Высшая математика. Семёнова Т.В. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

k—постоянные числа, k > 0), так как при перемене начала координат
или при изменении масштаба величины ξ нормированное отклонение не
меняется. Сказанное в равной мере относится и к η.
Вставка! Полезно запомнить формулу
D(ξ±η)=Dξ+Dη+2cov(ξ;η)
Отсюда следует свойство дисперсии для независимых ξ и η:
D(ξ±η)=
Dξ+Dη
Свойства коэффициента корреляции.
1.
–1≤ρ
ξη
≤1
2.
Если ρ
ξη
=1, то η=kξ+b, где k и b—константы, k>0.
3.
Если ρ
ξη
= –1, то η= kξ+b, где k<0.
4.
Если η=kξ+b, (k
≠
0) или ξ=k
1
η+b
1
, то
ρ
ξη
=1 при k>0
ρ
ξη
= – 1 при k<0.
Коэффициент корреляции ρ
ξη
достигает своих предельных значений –1
и 1 в том и только в том случае, если совместное распределение ξ и η все
концентрируется на некоторой прямой в плоскости ξ; η, то есть между ξ и η
имеется такая линейная зависимость.
Если ⎢ρ
ξη
⎢<1, то такой линейной зависимости нет. Все же по мере
приближения ⎢ρ
ξη
⎢ к единице совместное распределение ξ; η имеет
тенденцию концентрироваться вблизи некоторой прямой линии и величину
⎢ρ
ξη
⎢ можно считать мерой близости к полной линейной зависимости между
ξ и η.
Пример. Рассчитаем коэффициент корреляции ρ
ξη
для случайных
величин при заданном законе совместного распределения
η
ξ
123
10 1/36 0 0 1/36
20 2/36 1/36 0 3/36
30 2/36 2/36 2/36 6/36
40 1/36 9/36 16/36 26/36
6/36 12/36 18/36
Mξ=⋅+⋅+⋅+⋅≅10
1
36
20
3
36
30
6
36
40
26
36
35 83,
Mη= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅1
6
36
2
12
36
3
18
36
23,
()()()
()
Dξ= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ +
+− ⋅≅
10 35 83
1
36
20 35 83
3
36
30 35 83
6
36
40 35 83
26
36
57 64
222
2
,,,
,,
      k—постоянные числа, k > 0), так как при перемене начала координат
или при изменении масштаба величины ξ нормированное отклонение не
меняется. Сказанное в равной мере относится и к η.
          Вставка! Полезно запомнить формулу
          D(ξ±η)=Dξ+Dη+2cov(ξ;η)
          Отсюда следует свойство дисперсии для независимых ξ и η:
          D(ξ±η)=Dξ+Dη
           Свойства коэффициента корреляции.
    1.      –1≤ρξη≤1
    2.      Если ρξη=1, то η=kξ+b, где k и b—константы, k>0.
    3.      Если ρξη= –1, то η= kξ+b, где k<0.
    4.      Если η=kξ+b, (k≠0) или ξ=k1η+b1, то
       ρξη=1 при k>0
       ρξη= – 1 при k<0.
     Коэффициент корреляции ρξη достигает своих предельных значений –1
и 1 в том и только в том случае, если совместное распределение ξ и η все
концентрируется на некоторой прямой в плоскости ξ; η, то есть между ξ и η
имеется такая линейная зависимость.
     Если ⎢ρξη⎢<1, то такой линейной зависимости нет. Все же по мере
приближения ⎢ρξη⎢ к единице совместное распределение ξ; η имеет
тенденцию концентрироваться вблизи некоторой прямой линии и величину
⎢ρξη⎢ можно считать мерой близости к полной линейной зависимости между
ξ и η.
       Пример. Рассчитаем коэффициент корреляции ρξη для случайных
величин при заданном законе совместного распределения
                    η            1          2          3
             ξ
             10           1/36        0          0         1/36
             20           2/36       1/36        0         3/36
             30           2/36       2/36       2/36       6/36
             40           1/36       9/36       16/36      26/36
                  1         6/36      12/36     18/36
          =    ⋅     +    2⋅ 31 + 30 ⋅ 6 + 40 ⋅2 26 3≅ 35,83             6
      Dξ = (10 −3635,83) ⋅36 + (20 36   − 35,83) 36    + (30 − 35,83) ⋅
      Mξ    10         20                                            2
                                                  ⋅                        +
                 6       12 36 18                   36                  36
      Mη = 1 ⋅      + 2⋅      + 3⋅     ≅ 2,3
               36 2 26    36       36
      + (40 − 35,83) ⋅       ≅ 57,64
                         36

Страницы