Высшая математика. Семёнова Т.В. - 105 стр.

       Легко доказывается следующее свойство математического ожидания:
если ξ и η—независимые случайные величины, то М(ξη)=МξМη.
      Таким образом, для независимых случайных величин ξ и η cov(ξ;η)=0.




Коэффициент корреляции.
        Величина   cov(ξ;η)   зависит   от   единиц   измерения,   в   которых
выражаются ξ и η. (Например, пусть ξ и η—линейные размеры некоторой
детали. Если за единицу измерения принять 1 см, то cov(ξ;η) примет одно
значение, а если за единицу измерения принять 1 мм, то cov(ξ;η) примет
другое, большее значение (при условии cov(ξ;η)≠0)). Поэтому cov(ξ;η)
неудобно принимать за показатель связи.
     Чтобы иметь дело с безразмерным показателем, рассмотрим случайные
величины

       ξ − Mξ ξ − Mξ      η − Mη η − Mη
ξ* =         =       η* =       =
          Dξ    σξ ;         Dη    ση

     Такие  случайные    величины     называются            нормированными
отклонениями случайных величин ξ и η.
        Каждая из случайных величин ξ* и η* имеет центром (математическое
ожидание) нуль и дисперсию, равную единице. Приведём доказательство для
случайной величины ξ*.

         ⎛ ξ − Mξ ⎞     1                     1
Mξ* = M ⎜⎜
             σ
                  ⎟⎟ =
                       σ
                           ( Mξ − M ( Mξ)) =
                                             σ
                                                 ( Mξ − Mξ) = 0
         ⎝     ξ   ⎠     ξ                     ξ


        ⎛ η − Mη⎞    1                 Dη
Dξ* = D⎜⎜
            σ
                ⎟⎟ =   2
                         D( η − M η) =    2
                                            =1
        ⎝     ξ  ⎠ σξ                  σξ

     Ковариация ξ* и η* называется коэффициентом корреляции
случайных величин ξ и η (обозначается ρξη).

                      ⎛ ξ − Mξ η − Mη⎞ M (( ξ − Mξ)( η − Mη))
cov( ξ, η) = ρξη = M ⎜⎜       ⋅       ⎟ =                     =
                      ⎝ σξ       σ η ⎟⎠         σξσ η