Высшая математика. Семёнова Т.В. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Такая выборочная оценка называется несмещенной.
Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценок будем
рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных
величин ξ
1
, ξ
2
,... ξ
n
, каждая из которых имеет тот же закон распределения с
теми же параметрами, что и случайная величина
ξ
, представляющая
генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными
равенства: Mx
i
= Mξ
i
=Mξ;
Dx
i
= Dξ
i
=Dξ для всех k = 1,2,...n.
Теперь можно показать, что выборочная средняя
x
есть несмещенная
оценка средней генеральной совокупности или , что то же самое,
математического ожидания интересующей нас случайной величины
ξ
:
()
Mx M
xx x
n
n
MM M
n
nM M
n
n
=
+++
=+++==
12
12
11
...
...
ξξ ξ ξξ
.
Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:
()
Dx D
xx x
n
n
DD D
n
nD
D
n
n
n
=
+++
=+++==
12
2
12
1
2
11
...
...
ξξ ξ ξ
ξ
.
Найдем теперь, чему равно математическое ожидание выборочной
дисперсии σ
2
. Сначала преобразуем σ
2
следующим образом:
() ()
σξξ
2
2
1
2
1
11
=−
∑
=−+−=
∑
==
n
xx
n
xM M x
i
i
n
i
i
n
()()
()()
(
)
=−−−−+−
∑
=
=
1
2
2
2
1
n
xM xMxM xM
ii
i
n
ξξξξ
()()
=−−−
∑
=
1
22
1
n
xM xM
i
i
n
ξξ
Здесь использовано преобразование:
()()()( )
22
11
x MxM xM x M
i
i
n
i
i
n
−−
∑
=− −
∑
=
==
ξξ ξ ξ
() ()()()
=− −
∑∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=− − = −
==
222
11
2
xM x M xMnxnM nxM
i
i
n
i
n
ξξξξξ
Такая выборочная оценка называется несмещенной.
      Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценок будем
рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных
величин ξ1, ξ2,... ξn , каждая из которых имеет тот же закон распределения с
теми же параметрами, что и случайная величина ξ, представляющая
генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными
равенства:                                           Mxi = Mξi =Mξ;
Dxi = Dξi =Dξ для всех k = 1,2,...n.
      Теперь можно показать, что выборочная средняя x есть несмещенная
оценка средней генеральной совокупности или , что то же самое,
математического ожидания интересующей нас случайной величины ξ :

            x1 + x2 +. . .+ xn 1                             1
  Mx = M                      = ( Mξ1 + Mξ 2 +. . .+ Mξ n ) = n Mξ = Mξ .
                   n           n                             n

      Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:

          x1 + x2 +. . .+ xn           1                                   1             Dξ
                                       2 (
 Dx = D                            =       Dξ1 + Dξ 2 + . . .+ Dξ n1 ) =        n Dξ =      .
                       n               n                                   n2            n

     Найдем теперь, чему равно математическое ожидание выборочной
дисперсии σ 2. Сначала преобразуем σ 2 следующим образом:

                           1 n              1 n
                              ∑ ( xi − x ) = ∑ ( xi − Mξ + Mξ − x ) =
                                          2                        2
             σ2 =
                           n i =1           n i =1

        =
            1 n
            n i =1
                   (
               ∑ ( xi − Mξ) − 2( xi − Mξ)( x − Mξ) + ( x − Mξ) =
                           2                                  2
                                                                                )
                                  1 n
                                     ∑ ( xi − Mξ) − ( x − Mξ)
                                                 2            2
                              =
                                  n i =1

Здесь использовано преобразование:
             n                                               n
             ∑ 2( xi − Mξ)( x − Mξ) = 2( x − Mξ) ∑ ( xi − Mξ) =
            i =1                                            i =1

                ⎛ n        n  ⎞
   = 2( x − Mξ )⎜ ∑ xi − ∑ Mξ⎟ = 2( x − Mξ)(nx − nMξ ) = 2n( x − Mξ )
                                                                      2
                ⎝ i =1   i =1 ⎠

Страницы