Высшая математика. Семёнова Т.В. - 121 стр.

     Теперь, используя полученное выше выражение для величины σ 2,
найдем ее математическое ожидание.

                      ⎛1 n          2
                                                2⎞
              Mσ = M ⎜⎜ ∑ ( xi − Mξ) − ( x − Mξ) ⎟⎟ =
                 2

                      ⎝ n i =1                    ⎠

            1 n                              1
               ∑ M ( xi − Mξ) − M ( x − Mξ) = n Dξ − Dx =
                             2             2
        =
            n i =1                           n

                                Dξ n − 1
                       = Dξ −     =      Dξ .
                                n    n

     Так как Mσ 2 ≠ Dξ, выборочная дисперсия не является несмещенной
оценкой дисперсии генеральной совокупности.
     Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральнойn
совокупности, нужно 2умножить
                          n     выборочную дисперсию на       . Тогда
получится величина s =        2
                                                          n−1
                             σ , называемая исправленной выборочной
дисперсией.              n−1

                             1 n
                       s =
                        2
                                 ∑    ( xi − x) 2
                           n − 1 i =1

     Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же
параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую
дисперсию называется эффективной.
     Полученная из выборки объема n точечная оценка δn параметра Δ
генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по
вероятности к Δ. Это означает, что для любых положительных чисел ε и γ
найдется такое число nεγ , что для всех чисел n, удовлетворяющих
неравенству n > nεγ выполняется условие P( δ n − Δ < ε ) > 1 − γ .
            2
      x и s являются несмещёнными, состоятельными и эффективными
оценками величин Mξ и Dξ.



Интервальные оценки.
     Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть
приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов
обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что
неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок