Высшая математика. Семёнова Т.В. - 122 стр.

большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии
несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок
небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.
     Введем    понятие   интервальной    оценки   неизвестного   параметра
генеральной совокупности (или случайной величины ξ, определенной на
множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот
параметр через Δ. По сделанной выборке по определенным правилам найдем
числа Δ1 и Δ2, так чтобы выполнялось условие:

      P(Δ1< Δ< Δ2) =P (Δ∈(Δ1; Δ2)) = γ

Числа Δ1 и Δ2 называются доверительными границами, интервал (Δ1, Δ2) —
доверительным интервалом для параметра Δ. Число γ называется
доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.
     Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95, 0.99
или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в
интервал (Δ1, Δ2) достаточно высока. Число (Δ1 + Δ2) / 2 – середина
доверительного интервала – будет давать значение параметра Δ с точностью
(Δ2 – Δ1) / 2, которая представляет собой половину длины доверительного
интервала.
     Границы Δ1 и Δ2 определяются из выборочных данных и являются
функциями от случайных величин x1, x2,..., xn , а следовательно – сами
случайные величины. Отсюда – доверительный интервал (Δ1, Δ2) тоже
случаен. Он может покрывать параметр Δ или нет. Именно в таком смысле
нужно понимать случайное событие, заключающееся             в    том,   что
доверительный интервал покрывает число Δ.

Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при известной дисперсии.
     Пусть случайная величина ξ (можно говорить о генеральной
совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна
дисперсия Dξ = σ 2 (σ > 0). Из генеральной совокупности (на множестве
объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема
n. Выборка x1, x2,..., xn рассматривается как совокупность n независимых
случайных величин, распределенных так же как ξ (подход, которому дано
объяснение выше по тексту).