Высшая математика. Семёнова Т.В. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Доверительный интервал для дисперсии нормального
распределения.
Пусть случайная величина
ξ
распределена по нормальному закону, для
которого дисперсия D
ξ
неизвестна. Делается выборка объема n . Из нее
определяется исправленная выборочная дисперсия s
2
. Случайная величина
()
χ
ξ
2
2
1
=
−ns
D
распределена по закону
χ
2
c n –1 степенями свободы. По заданной
надежности
γ
можно найти сколько угодно границ
χ
1
2
и
χ
2
2
интервалов,
таких, что
()
Ð
χχχ γ
1
2
2
2
2
<< =
(*)
Найдем
χ
1
2
и
χ
2
2
из следующих условий:
P(
χ
2
≤
χ
1
2
) = (1 –
γ
)/ 2 (**)
P(
χ
2
≥
χ
2
2
) = (1 –
γ
)/ 2 (***)
Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливо
равенство (*).
В таблицах для случайной величины
χ
2
обычно дается решение
уравнения P(
χ
2
≥
χ
q
2
) = q . Из такой таблицы по заданной величине q и по
числу степеней свободы n – 1 можно определить значение
χ
q
2
. Таким
образом, сразу находится значение
χ
2
2
в формуле (***).
Для определения
χ
1
2
преобразуем (**):
P(
χ
2
≥
χ
1
2
) = 1 – (1 –
γ
)/ 2 = (1 +
γ
)/ 2
Полученное равенство позволяет определить по таблице значение
χ
1
2
.
Теперь, когда найдены значения
χ
1
2
и
χ
2
2
, представим равенство (*) в
виде
(
)
P
ns
D
χ
ξ
χγ
1
2
2
2
2
1
<
−
<
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
.
Последнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были
определены границы доверительного интервала для неизвестной
величины D
ξ
: 
Доверительный интервал для дисперсии нормального
распределения.
     Пусть случайная величина ξ распределена по нормальному закону, для
которого дисперсия Dξ неизвестна. Делается выборка объема n . Из нее
определяется исправленная выборочная дисперсия s2. Случайная величина


       χ   2
               =
                 ( n − 1)s2
                    Dξ

распределена по закону χ2 c n –1 степенями свободы. По заданной
надежности γ можно найти сколько угодно границ χ12 и χ22          интервалов,
таких, что

           (
      Ð χ1 < χ 2 < χ 2
               2              2
                                  )=γ    (*)

Найдем χ12 и χ22 из следующих условий:

      P(χ2 ≤ χ12) = (1 – γ )/ 2         (**)

      P(χ2 ≥ χ22) = (1 – γ )/ 2         (***)

Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливо
равенство (*).
     В таблицах    для случайной величины χ2 обычно дается решение
уравнения P(χ ≥χq ) = q . Из такой таблицы по заданной величине
               2   2
                                                                         q и по
числу степеней свободы n – 1 можно         определить   значение χ q
                                                                     2
                                                                       . Таким
образом, сразу находится 2значение χ22 в формуле (***).
     Для определения χ1 преобразуем (**):

       P(χ2 ≥ χ12) = 1 – (1 – γ )/ 2 = (1 + γ )/ 2

Полученное равенство позволяет определить по таблице значение χ12.
     Теперь, когда найдены значения χ12 и χ22, представим равенство (*) в
виде

        ⎛ 2 (n − 1)s2        ⎞
      P⎜⎜ χ 1 <       < χ 2 ⎟⎟ = γ .
                           2

        ⎝       Dξ           ⎠

     Последнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были
определены границы доверительного интервала для неизвестной
величины Dξ:

Страницы