Высшая математика. Семёнова Т.В. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Проверка статистической гипотезы о математическом
ожидании нормального распределения при известной
дисперсии.
Пусть имеется нормально распределенная случайная величина ξ,,
определенная на множестве объектов некоторой генеральной совокупности.
Известно, что Dξ = σ
2
. Математическое ожидание Mξ неизвестно. Допустим,
что имеются основания предполагать, что Mξ = a, где a – некоторое число
(такими основаниями могут быть ограниченные сведения об объектах
генеральной совокупности, опыт исследования подобных совокупностей и т.
д.). Будем считать также, что имеется другая информация, указывающая на
то, что Mξ = a
1
, где a
1
>
a.
I. Выдвигаем нулевую гипотезу H
0
: Mξ = a;
при конкурирующей гипотезе H
1
: Mξ = a
1
.
Делаем выборку объема n: x
1
, x
2
,..., x
n
. В основе проверки лежит тот
факт, что случайная величина
x
(выборочная средняя) распределена по
нормальному закону с дисперсией σ
2
/n и математическим ожиданием,
равным a в случае справедливости H
0
, и равным a
1
в случае справедливости
H
1
.
Очевидно, что если величина
x
оказывается достаточно малой, то это
дает основание предпочесть гипотезу H
0
гипотезе H
1
. При достаточно
большом значении
x
более вероятна справедливость гипотезы H
1
. Задачу
можно было бы поставить так: требуется найти некоторое критическое
число, которое разбивало бы все возможные значения выборочной средней (
в условиях данной задачи это все действительные числа ) на два
полубесконечных промежутка. При попадании
x
в левый промежуток
следовало бы принимать гипотезу H
0
, а при попадании
x
в правый
промежуток предпочтение следовало бы оказать гипотезе H
1
. Однако на
самом деле поступают несколько иначе.
В качестве статистического критерия выбирается случайная величина
(
)
z
xan
=
−
σ
,
распределенная по нормальному закону , причем Mz = 0 и Dz = 1 ( это
следует из свойств математического ожидания и дисперсии ) в случае 
Проверка статистической гипотезы о математическом
ожидании нормального распределения при известной
дисперсии.
      Пусть имеется нормально распределенная случайная величина ξ,,
определенная на множестве объектов некоторой генеральной совокупности.
Известно, что Dξ = σ 2. Математическое ожидание Mξ неизвестно. Допустим,
что имеются основания предполагать, что Mξ = a, где a – некоторое число
(такими основаниями могут быть ограниченные сведения об объектах
генеральной совокупности, опыт исследования подобных совокупностей и т.
д.). Будем считать также, что имеется другая информация, указывающая на
то, что Mξ = a1, где a1 > a.
      I. Выдвигаем нулевую гипотезу H0: Mξ = a;
       при конкурирующей гипотезе H1: Mξ = a1.
     Делаем выборку объема n: x1, x2,..., xn . В основе проверки лежит тот
факт, что случайная величина x (выборочная средняя) распределена по
нормальному закону с дисперсией σ 2/n и математическим ожиданием,
равным a в случае справедливости H0, и равным a1 в случае справедливости
H1.
     Очевидно, что если величина x оказывается достаточно малой, то это
дает основание предпочесть гипотезу H0 гипотезе H1. При достаточно
большом значении x более вероятна справедливость гипотезы H1. Задачу
можно было бы поставить так: требуется найти некоторое критическое
число, которое разбивало бы все возможные значения выборочной средней (
в условиях данной задачи это все действительные числа ) на два
полубесконечных промежутка. При попадании x в левый промежуток
следовало бы принимать гипотезу H0, а при попадании x в правый
промежуток предпочтение следовало бы оказать гипотезе H1. Однако на
самом деле поступают несколько иначе.
     В качестве статистического критерия выбирается случайная величина

                           z=
                                ( x − a)   n
                                               ,
                                    σ

распределенная по нормальному закону , причем Mz = 0 и Dz = 1 ( это
следует из свойств математического ожидания и дисперсии ) в случае

Страницы