Высшая математика. Семёнова Т.В. - 138 стр.

 Отделение корней

 Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения                   заранее

требуется знать какой-либо отрезок      , на котором лежит искомый корень , и
притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать

других корней уравнения           ). В этом случае говорят, что корень     отделён на

отрезке       . Отделить корень -- значит указать такой отрезок, на котором корень
отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень
отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот
корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать
о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные
усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала
довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.


  Кроме того, часто нужно знать начальное приближение     к корню    (который,
заметим, неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило,


любую точку отрезка, на котором отделён корень, например, его середину                     ,
если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.

 Приведём некоторые утверждения, которые могут помочь при отделении корня.


      Теорема 1 ( о корне непрерывной функции) Если функция              непрерывна на

отрезке      , причём значения её в концах отрезка      и        -- это числа разных

знаков, то на отрезке     лежит по крайней мере один корень уравнения                  .

  Практический смысл теоремы -- в том, что если мы, вычисляя значения функции в
некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даёт значения разных
знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же
известно заранее, что корень один, то получаем, что корень отделён на найденном
отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках,
может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее
известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим
иллюстрирующий сказанное пример.


      Пример1 Рассмотрим уравнение                      . Это уравнение третьей
степени, поэтому у него не более трёх корней. Подсчитаем несколько значений функции

                   , выбирая для простоты целые значения     :