Высшая математика. Семёнова Т.В. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Функция непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на
концах отрезков
и ; следовательно, по теореме о корне непрерывной
функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню.
Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке --
ровно по одному корню. Тем
самым нам удалось отделить все три корня
, и уравнения (и при этом
установить, что их действительно три, а не меньше):
Теорема 2 Если функция строго монотонна на отрезке , то есть
возрастает или убывает на
, то на этом отрезке уравнение не может
иметь более одного корня.
Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает
каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение
0 принимается один раз, то есть уравнение
имеет один корень.
Тем самым, если отрезок
, на котором заведомо имеется хотя бы один корень
(например, если
и -- разного знака), -- это отрезок строгой монотонности
функции, то на
отделён ровно один корень .
Заметим, что интервалы монотонности функции
можно отыскивать, решая
неравенства
(что соответствует возрастанию функции) и (что
соответствует убыванию).
Пример2 Рассмотрим уравнение . Для функции
найдём производную . У этого
квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: , поэтому
сохраняет знак коэффициента при , то есть при всех .
Следовательно, функция
возрастает на всей оси и может иметь не более одного
корня. Вычислим значения
в точках и : . Это
значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке
.
Пример3 Для функции найдём интервалы монотонности.
Решим неравенство
и получим: 
 Функция          непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на

концах отрезков                и      ; следовательно, по теореме о корне непрерывной
функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню.
Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке -- ровно по одному корню. Тем
самым нам удалось отделить все три корня     ,    и      уравнения (и при этом
установить, что их действительно три, а не меньше):



      Теорема 2 Если функция          строго монотонна на отрезке            , то есть

возрастает или убывает на        , то на этом отрезке уравнение               не может
иметь более одного корня.

  Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает
каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение

0 принимается один раз, то есть уравнение               имеет один корень.


 Тем самым, если отрезок        , на котором заведомо имеется хотя бы один корень

(например, если       и      -- разного знака), -- это отрезок строгой монотонности

функции, то на       отделён ровно один корень      .


 Заметим, что интервалы монотонности функции               можно отыскивать, решая

неравенства          (что соответствует возрастанию функции) и                 (что
соответствует убыванию).


      Пример2 Рассмотрим уравнение                                 . Для функции

                           найдём производную                           . У этого

квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант:                                   , поэтому

     сохраняет знак коэффициента при        , то есть            при всех       .

Следовательно, функция        возрастает на всей оси        и может иметь не более одного

корня. Вычислим значения        в точках      и     :                          . Это

значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке                 .

      Пример3 Для функции                               найдём интервалы монотонности.

Решим неравенство                          и получим:

Страницы