Высшая математика. Семёнова Т.В. - 44 стр.

 Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце                    . Эта функция
может быть представлена в виде сходящегося ряда:




Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть
представлена в виде суммы:




Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд,
определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.



 Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом
круге               за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке
функция бывает не определена.



 Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.



Рассмотрим следующие частные случаи:




 1) Функция f(x) имеет вид:                               . Т.к. степенной ряд сходится во
всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема
во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.

  В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для
устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и
функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.