Высшая математика. Семёнова Т.В. - 72 стр.

Условные вероятности.
      Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов
билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене
вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что
студент вытащил выученный билет?
      Определим пространство элементарных исходов: Ω=(1,2,3,...,28,29,30).
Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет:
А = (1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из
первых двадцати: В = (1,2,3,...,20)
      Событие А∩В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность
равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и
20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно
рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В
произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом решение задачи
определяется формулой

                          P(А∩В) = Р(А/В) Р(B)

      Эта формула называется формулой умножения вероятностей , а
вероятность Р(А/В) — условной вероятностью события A.
      Пример..Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу
один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность
того, что первый шар будет белым, а второй черным?
      Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y
— событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда X∩Y -
событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй —
черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым
черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10,
по формуле умножения вероятностей получаем: P(X∩Y) = 7/30
      Событие А называется независимым от события В (иначе: события
А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение
независимых событий можно принять следствие последней формулы и
формулы умножения

                           P(А∩В) = Р(А) Р(B)