Высшая математика. Семёнова Т.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

H
n
)P(H
n
) ==
=
∑
PA H PH
i
i
n
(/ )( )
i
1
Доказательство. Очевидно: A = (A∩H
1
) U (A∩H
2
) U...U (A∩H
n
), причем
все события A∩H
i
(i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме
сложения вероятностей получаем
P(A) = P(A∩H
1
) + P(A∩H
1
) +...+P(A∩H
n
)
Если учесть, что по теореме умножения P(A∩H
i
) = P(A/H
i
) P(H
i
) (i =
1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше
формулу полной вероятности.
Пример. В магазине продаются электролампы производства трех
заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%.
Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова
вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась
бракованной.
Пусть событие H
1
состоит в том, что выбранная лампа произведена на
первом заводе, H
2
на втором, H
3
- на третьем заводе. Очевидно:
P(H
1
) = 3/10, P(H
2
) = 5/10, P(H
3
) = 2/10.
Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась
бракованной; A/H
i
означает событие, состоящее в том, что выбранна
бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи
следует:
P (A/H
1
) = 5/10; P(A/H
2
) = 3/10; P(A/H
3
) = 2/10
По формуле полной вероятности получаем
PA()=⋅ +⋅ +⋅ =
3
10
5
100
5
10
3
100
2
10
2
100
17
500
Формула Байеса
Пусть H
1
,H
2
,...,H
n
- полная группа событий и А⊂Ω - некоторое событие.
Тогда по формуле для условной вероятности
PH A
P
H
A
k
k
(/)
(
)
=
I
P(A)
(*) 
                n
Hn)P(Hn) = =   ∑ P( A / Hi )P( Hi )
               i =1


       Доказательство. Очевидно: A = (A∩H1) U (A∩H2) U...U (A∩Hn), причем
все события A∩Hi (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме
сложения вероятностей получаем

                      P(A) = P(A∩H1) + P(A∩H1) +...+P(A∩Hn )

       Если учесть, что по теореме умножения P(A∩Hi) = P(A/Hi) P(Hi) (i =
1,2,...,n),   то из последней формулы легко получить приведенную выше
формулу полной вероятности.
       Пример. В магазине продаются электролампы производства трех
заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%.
Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова
вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась
бракованной.
       Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на
первом заводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно:

                      P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.

       Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась
бракованной; A/Hi           означает событие, состоящее в том, что выбранна
бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи
следует:

                 P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10

       По формуле полной вероятности получаем
                                  3   5   5 3   2 2    17
                       P( A) =      ⋅   +  ⋅  +  ⋅   =
                                 10 100 10 100 10 100 500

Формула Байеса
       Пусть H1,H2,...,Hn - полная группа событий и А⊂Ω - некоторое событие.
Тогда по формуле для условной вероятности
                                                   P( Hk I A)
                                  P( Hk / A)   =
                                                      P(A)
                                                                         (*)

Страницы