Высшая математика. Семёнова Т.В. - 78 стр.

появления события A в одном испытании, q - вероятность появления события
A в одном испытании.
      Сформулированные условия проведения испытаний иногда называются
"схемой повторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли"
      Число x появления события A в n повторных независимых испытаниях
называется частотой.
      Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров наудачу
выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность
того, что 4 раза появится белый шар.
      В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; x=5. Искомую
вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

                                         ⎛ 1 ⎞ 4 ⎛ 3⎞ 15
                            P8 (5) = C54 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
                                         ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 1024

      По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных
частот: x=0,1,2,3,4,5.
      Заметим, что если в этой задаче считать, что белых шаров было 20000,
а черных 60000, то очевидно p и q останутся неизменными. Однако в этой
ситуации можно пренебречь возвращением извлеченного шара после каждой
выборки (при не слишком больших значениях x) и считать вероятности всех
частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли.
      Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитывать
вероятность любой частоты x (0 ≤ x ≤ n). Возникает естественный вопрос:
какой частоте будет соответствовать наибольшая вероятность?
      Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее
определить из условия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности
"предыдущей" и "последующей" частот:

                     Pn(x) ≥ Pn (x-1); Pn(x) ≥ Pn (x+1)                (1)

Первое неравенство (*) представляется в виде:

                         Cnx p x qn − x ≥ Cnx −1 p x −1qn − x +1 ,
                    p    q
что эквивалентно      ≤       или qx ≤ pn − px + p . Отсюда следует:
                    x n− x +1
                               x ≤ np + p