ВУЗ:
Составители:
13
Мы будем рассматривать систему линейных уравнений
Ax b
, (1.10)
с матрицей A размеров
mn
. Буква
r
будет обозначать ранг этой матрицы.
Никаких условий на
,mn
и
r
, вообще говоря, не накладывается.
Поскольку
x
- столбец высоты
n
, а
b
- столбец высоты
m
, для
геометрической иллюстрации естественно будет использовать
арифметические пространства
n
R
и
m
R
. Под нормой столбца
x
с
элементами
1
,...,
n
xx
мы будем понимать его евклидову норму, т.е. число
1 2 2
( ) ... ( )
nT
x x x x x
.
Невязкой, которую даѐт столбец
x
при подстановке в систему
уравнений (1.10), называется столбец
u b Ax
.
Решение системы – это столбец, дающий нулевую невязку.
Если система (1.10) несовместна, естественно постараться найти
столбец
x
, который даѐт невязку с минимальной нормой, и если такой
столбец найдѐтся, считать его обобщѐнным решением системы. Разумеется,
если система несовместна, еѐ решение будет также и обобщѐнным
решением.
Для сравнения невязок воспользуемся евклидовой нормой и,
следовательно, будем искать столбец
x
, для которого минимальна
величина
2
( ) ( )
T
u b Ax b Ax
. (1.11)
Рассматривая элементы столбца
x
как независимые переменные,
найдѐм полный дифференциал
2
u
. Как нетрудно проверить,
2
( ) ( )
T T T
d u dx A b Ax b Ax Adx
.
Так как второе слагаемое, будучи матрицей первого порядка, не
меняется при транспонировании, имеем
2
2 ( )
TT
d u dx A b Ax
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
