ВУЗ:
Составители:
14
Поэтому дифференциал равен нулю тогда и только тогда, когда
TT
A Ax A b
. (1.12)
Эта система линейных уравнений по отношению к системе (1.10)
называется нормальной системой. Она является следствием системы (1.10),
но независимо от совместности системы (1.10) справедливо
Предложение 1. Нормальная система уравнений обязательно
совместна.
Доказательство. Матрица
T
AA
симметрична, и потому
транспонированная однородная система для системы (1.12) имеет вид
0
T
A Ay
. Для любого решения этой системы имеют место равенства,
последовательно вытекающие одно из другого:
( ) ( ) 0, 0, ( ) 0
T T T T T
y A Ay Ay Ay Ay y A b
.
Последнее из них означает, для системы (1.12) выполнено условие
теоремы Фредгольма. Это заканчивает доказательство.
Предложение 2. Точная нижняя грань квадрата нормы невязки
достигается для всех решений нормальной системы (1.12) и только для
них.
Доказательство. Написав формулу (1.11) для столбца
0
xx
и
раскрыв скобки, мы получаем
00
0 0 0
( ( )) ( ( ))
( ) ( ) 2 ( ) .
T
T T T T T
b A x x b A x x
b Ax b Ax x A b Ax x A A x
Последнее слагаемое неотрицательно, так как
( ) ( ) 0
T T T
x A A x A x A x
. Если
0
x
удовлетворяет системе (1.12), то
второе слагаемое равно нулю, и тогда добавление
x
не уменьшает
значения функции, каков бы этот столбец
x
ни был.
Обратно, для функции, определѐнной для всех
x
, точная нижняя грань
может достигаться только в точке локального экстремума, а в таких точках
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
