ВУЗ:
Составители:
15
дифференциал равен нулю, и выполнено условие (1.12). Предложение
доказано.
По известной теореме всѐ множество решений нормальной системы
может быть описано формулой
0
x x z
, в которой
0
x
- некоторое
фиксированное решение нормальной системы, а
z
- произвольное решение
однородной системы
0
T
A Az
. Как мы видели при доказательстве
предложения 1, последняя система эквивалентна системе
0,Az
и мы
можем считать, что решение нормальной системы (1.12) определено с
точностью до произвольного решения однородной системы
0Az
. Таким
образом, справедливо
Предложение 3. Нормальная система имеет единственное решение
тогда и только тогда, когда система
0Az
имеет только тривиальное
решение, т.е. столбцы матрицы
A
линейно независимы. В частности,
это будет выполнено, если матрица
A
невырождена.
Если решение нормальной системы не единственно, то возникает
задача выбрать какое-то одно из решений, и выбирается решение с
минимальной нормой.
Определение. Нормальным псевдорешением системы линейных
уравнений называется столбец с минимальной нормой среди всех столбцов,
дающих минимальную по норме невязку при подстановке в эту систему.
Поскольку не возникает опасности недоразумения, мы будем
называть нормальное псевдорешение просто псевдорешением[1].
Предложение 4. Пусть
b
x
и
c
x
- нормальные псевдорешения двух
систем линейных уравнений
Ax b
и
Ax с
. Тогда
bc
xx
является
нормальным псевдорешением системы
Ax b c
.
Доказательство. Из
TT
b
A Ax A b
и
TT
c
A Ax A c
следует, что
bc
xx
удовлетворяет нормальной системе:
( ) ( )
TT
bc
A A x x A b c
. Далее,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
