Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур. Севастьянов Л.А - 18 стр.

UptoLike

18
Определение псевдообратной матрицы
Способ 1
Определение 1. Матрица
A
называется псевдообратной матрицей
для матрицы
A
, если
.
+
AA A = A
Из этого определения сразу вытекает, что если матрица
A
имеет
размер
mn
, то псевдообратная матрица
A
имеет размер
nm
.
Способ 2
Опишем и другой, часто встречающийся в литературе, подход к
определению этого понятия.
Сначала введѐм понятие псевдорешения системы уравнений.
Пусть нам дана система уравнений
,Ax b
(1.13)
где
A
- матрица размера
mn
,
b
- вектор из
m
элементов.
Любое решение этой системы является также и решением системы
.
TT
A Ax A b
(1.14)
Определение 2. Псевдорешением системы (1.13) называется решение
системы (1.14) с минимальной нормой среди всех столбцов, имеющих
минимальную невязку (норма вектора равна квадратному корню из суммы
квадратов компонент вектора), а невязкой решения системы (1.13)
называется норма вектора
.
Поясним определение (1.14) на примере.
Пример 1. Требуется найти псевдорешение системы
12
12
4,
6.
xx
xx
Очевидно, что эта система «обычных» решений не имеет.
Шаг 1. Перепишем эту систему в матричном виде (то есть в виде
(1.13))