ВУЗ:
Составители:
43
где > 0 — параметр регуляризации, играющий роль неопределенного
множителя Лагранжа. Из условия (3.5) вытекает уравнение Тихонова (ср.
(2.33):
**
( ) ,E A A y A f
(3.6)
где Е — единичный оператор (Еу = у). Итак, вместо уравнения I рода
получено уравнение II рода (3.6).
Анализ метода. Проанализируем условие (3.5) и уравнение (3.6).
Если = 0, то метод регуляризации Тихонова переходит в МНК
Гаусса с крайне нейстойчивым решением, но минимальной невязкой
2
Ay f
. С увеличением же решение становится глаже и устойчивей,
т.е. уменьшается норма решения
2
y
, но увеличивается невязка. Истина
— посередине, т. е. при некотором умеренном решение
y
будем иметь
и умеренную гладкость, и умеренную невязку. Некоторые способы выбора
изложены ниже.
Если
, 0,
то
0
и
* 1 *
0
lim( )y E A A A f A f
(3.7)
(см. (2.51)), т.е. решение
y
переходит в нормальное псевдорешение.
Таким образом, метод регуляризации Тихонова является обобщением
метода наименьших квадратов Гаусса и метода псевдообратного оператора
Мура-Пенроуза.
Метод регуляризации Тихонова устойчив, т. е. выполняется 3-й пункт
корректности по Адамару и эта устойчивость обусловлена следующими
обстоятельствами. Оператор
*
AA
в (3.6) является положительно
определенным, поэтому все его собственные значения вещественны и
неотрицательны:
*
( ) 0,
i
AA
причем
*
min
( ) 0.AA
Наличие же
слагаемого Е в (3.6) увеличивает все
*
()
i
AA
на , поэтому
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
