ВУЗ:
Составители:
9
1.3. Обусловленность систем уравнений
Пусть дана исходная система линейных уравнений
Ax b
, (1.4)
где
A
– квадратная матрица порядка
n
и
det 0.A
Рассмотрим
возмущѐнную систему
()A A y b b
. (1.5)
Прежде всего, не ясно, будет ли система (1.5) иметь единственное
решение так же, как и (1.4). Ниже мы наложим на
A
достаточное для
этого условие. Наша ближайшая задача – оценить при этом условии норму
разности решений обеих систем.
Предложение 1. Пусть матричная норма квадратной матрицы
B
удовлетворяет условию
1B
. Тогда существует матрица
1
()EB
и
11
( ) (1 )E + B
.
Доказательство. Из оценки спектрального радиуса матрицы вытекает,
что все собственные значения матрицы
B
лежат в круге
,
т.е.
внутри круга сходимости разложения функции
1
(1 )
по степеням .
Это гарантирует существование матрицы
1
()E +B
, равной сумме ряда
2
...E B + B
.
Для частичной суммы этого ряда имеем оценку
00
1
1
KK
K
K
K
S B B
.
Отсюда переходом к пределу при
k
и получаем требуемое
неравенство.
Перейдѐм теперь к оценке нормы возмущения решения, т.е.
x yx
, где
y
– решение системы (1.5),
x
– решение (1.4). Для этого
вычтем (1.4) и (1.5). Мы получим
( )( )A A x x Ax b
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
