Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 100 стр.

        Последние соотношения можно рассматривать как систему относительно zx
и zy . Система с ненулевым главным определителем имеет единственное решение,
которое              можно                    найти             с           помощью               правила Крамера:
                     ( y, z )                                    ( z , x)
                    (u, v)                                      (u, v)
zx ( x0 , y0 )               |(u0 ,v0 ) , zy ( x0 , y0 )                |      .
                    ( x, y)                                     ( x, y) (u0 ,v0 )
                    (u, v)                                      (u, v)
        Подставляя полученные частные производные в уравнение касательной
плоскости к поверхности, заданной в явном виде, получим уравнение касательной
плоскости к поверхности, заданной параметрически:
                   ( y, z )                                      ( z , x)
                             |(u0 ,v0 ) ( x  x(u0 , v0 ))                |      ( y  y(u0 , v0 )) 
                   (u, v)                                       (u, v) (u0 ,v0 )
                              ( x, y)
                                           |        ( z  z (u0 , v0 ))  0.
                              (u, v) (u0 ,v0 )



                          Производная по направлению.
             1.    Случай функции двух переменных f ( x, y) . Направление
        задается вектором. Выберем единичный вектор, задающий направление на
        плоскости: l  (cos ,sin  ) . Этот вектор образует угол  с положительным
        направлением оси OX. Производной функции двух переменных по
                                                  f f          f
        направлению l называется выражение             cos   sin  .
                                                  l x          y
             2.    Случай функции трех переменных f ( x, y, z) . Пусть задан
        единичный вектор l , образующий углы  ,  и  с осями OX, OY и OZ,
        соответственно. Если обозначить координаты вектора l через a, b и с , то
        по формуле косинуса угла между двумя векторами l и i получим a  cos .
        Аналогично, b  cos  , c  cos  . Таким образом, единичный вектор,
        образующий углы  ,  и  с осями OX, OY и OZ, имеет координаты
        (cos ,cos  ,cos  ) . Производной функции трех переменных по
        направлению l называется выражение
             f f         f        f
                  cos    cos    cos  .
             l x         y        z

                        Частные производные высших порядков

    Любая частная производная f xk функции n переменных f ( x)  f ( x1,..., xn )
сама также является функцией n переменных. Частная производная от частной
производной функции многих переменных называется частной производной
второго порядка функции f ( x) . При этом, если переменные, по которым берутся
                                                       100