Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 102 стр.

                                                 
     Здесь         lim                                              0.
                                                          
                                                               m
              ( x )2 ( y )2 0
                                        (x)  (y)
                                             2         2




              Локальный экстремум функции многих переменных

    Точкой      локального экстремума функции f ( x)  f ( x1, x2 ,..., xn ), x  D,
называется такая точка x0  ( x10 , x02 ,..., x0n )  D , для которой в области D существует
окрестность, в которой разность f ( x)  f ( x0 ) не меняет знак. В частности, точка
x0 является точкой минимума, если f ( x)  f ( x0 )  0, x  x0 , и точка x0 является
точкой максимума, если f ( x)  f ( x0 )  0, x  x0 .

     Необходимое условие локального экстремума

    Пусть x0 – точка экстремума, и функция f ( x) дифференцируема в точке x0 .
Рассмотрим функцию одной переменной g ( xk )  f ( x10 ,..., x0k 1, xk , x0k 1,..., x0n ) , где k
– любое натуральное число между 1 и n . Эта функция имеет точкой экстремума
точку x0k , и значит, g ( x0k )  f xk ( x10 ,..., x0n )  0 . Следовательно, необходимым
условием экстремума функции многих переменных f ( x) в точке x0 , где она
дифференцируема, является следующее условие: f x1 ( x0 )  f x2 ( x0 )  ...  f xn ( x0 )  0 .
Точка, в которой все частные производные первого порядка данной функции
равны нулю, называется критической точкой этой функции.

     Достаточное условие локального экстремума

    Выполнение необходимого условия экстремума не обязательно обеспечивает
действительное наличие экстремума в точке, то есть, критическая точка функции
может не быть точкой локального экстремума. В качестве примера рассмотрим
                                  x2 y 2
функцию двух переменных z  2  2 . Критической точкой для этой функции
                                  a b
является точка (0,0). Однако эта точка является не экстремальной, а седловой.

     hypar.wxm

    Для того чтобы выяснить, достигается ли в критической точке экстремум и
какой, следует обратиться к дифференциалу второго порядка в этой точке. Итак,
пусть x0 – критическая точка для функции многих переменных f ( x) . В этом
случае df ( x0 )  0 . В соответствии с формулой Тейлора
                                        1 2                                                       
      f ( x0  x)  f ( x0 )             d f ( x0 )   , где             lim                                0.
                                        2!                             ( x0 x, x0 )0    ( x0  x, x0 )
                                                                                            2



                                                                   102