Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 103 стр.

        Поэтому знак разности f ( x)  f ( x0 ) в окрестности точки x0 определяется
знаком дифференциала второго порядка в точке x0 при всевозможных малых
приращениях dxk , k  1,..., n .
        Рассмотрим случай n  2 . Пусть критическая точка имеет координаты
( x0 , y0 ) . Рассмотрим приращение функции в окрестности этой точки:
                  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 ) 
   1
 [ f xx ( x0 , y0 )  (dx)2  2  f xy ( x0 , y0 )  dx  dy  f yy ( x0 , y0 )  (dy)2 ]   .
   2!
        Если при любом сочетании бесконечно малых приращений dx и dy
выражение в квадратных скобках не меняет знак, то данная критическая точка
является точкой локального экстремума.                                          Вынесем за квадратную скобку
множитель (dy) . Знак приращения функции совпадает со знаком квадратного
                          2

                                    dx                              dx                                 dx
трехчлена f xx ( x0 , y0 )  ( )2  2  f xy ( x0 , y0 )   f yy ( x0 , y0 ) относительно          . Как
                                   dy                               dy                                 dy
известно, квадратный трехчлен не меняет знак в том случае, если не имеет
корней, то есть если его дискриминант отрицателен. В случае отрицательного
дискриминанта знак квадратного трехчлена определяется знаком коэффициента
при наибольшей степени (или знаком свободного члена). Таким образом,
критическая точка с координатами ( x0 , y0 ) является точкой локального
экстремума, если ( f xy ( x0 , y0 ))2  f xx ( x0 , y0 )  f yy ( x0 , y0 )  0 . При этом мы имеем
точку минимума, если f xx ( x0 , y0 )  0 , и точку максимума, если f xx ( x0 , y0 )  0 .

     Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в
                              области

        Так же, как в случае функции одной переменной, заданной на отрезке,
функция двух переменных, заданная в замкнутой области, достигает своих
наибольшего и наименьшего значений либо в критических точках, лежащих в
заданной области, либо в граничных точках области. Трудность этого случая в
том, что у области на плоскости, имеется бесконечное множество граничных
точек.
     П р и м е р. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
       z  x2  xy  y 2  2x  y в треугольнике,      образованном прямыми
x  0, y  x  2, y   x  2 .




                                                     103