Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

101
производные сначала от функции
()fx
, а затем от функции
k
x
f
, не совпадают,
такая частная производная называется смешанной. Обозначения частной
производной второго порядка:
2
kl
lk
xx
f
f
xx


. В том случае, когда
kl
xx
f

и
lk
xx
f

–
непрерывные функции в окрестности некоторой точки,
k l l k
x x x x
ff
в этой точке.
Аналогично вводятся частные производные любого порядка.
Дифференциалы высших порядков
По аналогии с производными вводятся дифференциалы высших порядков, то
есть дифференциалы от дифференциалов. Рассмотрим функцию трех переменных
( , , )u f x y z
. Дифференциалом этой функции является выражение
x y z
df f dx f dy f dz
. Заметим, что входящие в последнее выражение
производные – функции от
, иx y z
, а дифференциалы переменных не зависят от
. Поэтому при условии непрерывности смешанных производных
дифференциал второго порядка имеет вид
2
( ) ( )
xx y z x y z
d f d f dx f dy f dz f dx f dy f dz dx
( ) ( )
yzx y z x y z
f dx f dy f dz dy f dx f dy f dz dz
2 2 2
( ) 2 ( ) 2 2 ( )
xx xy yy xz yz zz
dx dx dy dy dx dz dy dz dzf f f f f f
.
В последней формуле мы воспользовались свойством равенства смешенных
производных. Нетрудно видеть, что формула дифференциала второго порядка
аналогична формуле второй степени суммы трех слагаемых. Нетрудно сосчитать
дифференциалы второго и третьего порядков функции двух переменных
( , )u f x y
:
2 2 2
( ) 2 ( )
xx xy yy
d f f dx f dx dy f dy
,
3 3 2 2 3
( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )
xxx xxy xyy yyy
d f f dx f dx dy f dx dy f dy
.
Формула Тейлора для функции многих переменных
Как и в случае функций одной переменной, для функций многих переменных
12
( ) ( , ,..., )
n
f x f x x x
формула Тейлора дает связь между приращением функции в
точке и ее дифференциалами в этой же точке:
2
0 0 0 0 0
11
2! !
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ,
m
m
f x x f x df x d f x d f x
где
00
( , ) 0
00
lim 0
( , )
m
x x x
x x x

.
В частности, для функции двух переменных имеем:
0 0 0 0 0 0 0 0
22
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1
[ ( , ) ( ) 2 ( , ) ( , ) ( ) ] ... .
2!
xy
xx xy yy
f x x y y f x y f x y dx f x y dy
f x y dx f x y dx dy f x y dy

производные сначала от функции f ( x) , а затем от функции f xk , не совпадают,
такая частная производная называется смешанной. Обозначения частной
                                         2 f
производной второго порядка: f xk xl  l k . В том случае, когда f xk xl и f xl xk –
                                        x x
непрерывные функции в окрестности некоторой точки, f xk xl  f xl xk в этой точке.
    Аналогично вводятся частные производные любого порядка.

                                   Дифференциалы высших порядков

     По аналогии с производными вводятся дифференциалы высших порядков, то
есть дифференциалы от дифференциалов. Рассмотрим функцию трех переменных
u  f ( x, y, z) .       Дифференциалом           этой  функции  является  выражение
df  f x  dx  f y  dy  f z  dz . Заметим, что входящие в последнее выражение
производные – функции от x, y и z , а дифференциалы переменных не зависят от
x, y и z . Поэтому при условии непрерывности смешанных производных
дифференциал второго порядка имеет вид
          d 2 f  d ( f x  dx  f y  dy  f z  dz )  ( f x  dx  f y  dy  f z  dz )x  dx 
             ( f x  dx  f y  dy  f z  dz)y  dy  ( f x  dx  f y  dy  f z  dz)z  dz 
 f xx  (dx)2  2  f xy  dx  dy  f yy  (dy)2  2  f xz  dx  dz  2  f yz  dy  dz  f zz  (dz)2 .
        В последней формуле мы воспользовались свойством равенства смешенных
производных. Нетрудно видеть, что формула дифференциала второго порядка
аналогична формуле второй степени суммы трех слагаемых. Нетрудно сосчитать
дифференциалы второго и третьего порядков функции двух переменных
u  f ( x, y) : d 2 f  f xx  (dx)2  2  f xy  dx  dy  f yy  ( dy)2 ,
       d 3 f  f xxx
                   (dx)3  3 f xxy
                                      (dx)2  dy  3 f xyy
                                                              dx  (dy)2  f yyy
                                                                                   (dy)3 .

                 Формула Тейлора для функции многих переменных

       Как и в случае функций одной переменной, для функций многих переменных
 f ( x)  f ( x1, x2 ,..., xn ) формула Тейлора дает связь между приращением функции в
точке и ее дифференциалами в этой же точке:
                                                           1 2                  1
                f ( x0  x)  f ( x0 )  df ( x0 )          d f ( x0 )  ...  d m f ( x0 )   ,
                                                           2!                   m!
                                         
      где          lim                                 0.
              ( x0 x, x0 )0    ( x0  x, x0 )
                                   m

      В частности, для функции двух переменных имеем:
            f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )  dx  f y ( x0 , y0 )  dy 
              1
            [ f xx ( x0 , y0 )  (dx)2  2  f xy ( x0 , y0 )  dx  dy  f yy ( x0 , y0 )  (dy)2 ]  ...   .
              2!


                                                              101

Страницы