Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 99 стр.

квадратной, размера              n  n . Для такой матрицы может быть вычислен
                                              f1 x1 ( x0 ) f1 x2 ( x0 ) ... f1 xn ( x0 )
                                                       f 2 x1 ( x0 )     f 2 x2 ( x0 ) ... f 2 xn ( x0 )
определитель. Этот определитель                                                                               называется
                                                             ...            ...      ...       ...
                                                       f n x1 ( x0 ) f n x2 ( x0 ) ... f n xn ( x0 )
                           f          ( f1, f 2 ,..., f n )      D( f1, f 2 ,..., f n )
якобианом и обозначается      |x x0                         | 
                                                          n x  x0
                                                                                          | .
                           x          ( x , x ,..., x )
                                           1 2
                                                                   D( x1, x2 ,..., x n ) x x0
      Примеры. 1. Сосчитаем якобиан перехода от полярных координат к
декартовым координатам. Напомним формулы: x  r  cos, y  r  sin  . Имеем
( x, y) cos r  sin 
                        r.
(r, ) sin  r  cos 

       2. Сосчитаем якобиан перехода от сферических координат к декартовым
координатам. Напомним формулы: x  r  cos  sin , y  r  sin   sin ,
       z  r  cos .                                                         Имеем
                cos   sin r  sin   sin r  cos   cos
 ( x, y, z )
               sin   sin r  cos  sin r  sin   cos  r 2  sin .
(r, , )
                   cos               0            r  sin


     Касательная плоскость к поверхности, заданной параметрически

      Мы уже знаем, что касательная плоскость к поверхности, заданной явно в
виде          z  z( x, y) ,         в             точке       ( x0 , y0 , z0 )       имеет           уравнение
          z                       z
z  z0  |( x0 , y0 ) ( x  x0 )  |( x0 , y0 ) ( y  y0 ) .
          x                       y
                                                                                        x  x(u, v),
      Пусть теперь та же поверхность задана параметрически:  y  y(u, v),
                                                                                        z  z (u, v),
                                                                                       
                                                                                        ( x, y)
      где u, v – параметры, причем x0  x(u0 , v0 ), y0  y(u0 , v0 ) и                          |          0.
                                                                                         (u, v) (u0 ,v0 )
      В соответствии с явным и параметрическим заданиями одной и той же
поверхности имеем z(u, v)  z( x(u, v), y(u, v)) . Это значит, что мы имеем
суперпозицию функции двух переменных z( x, y)                                           и вектор-функции
( x(u, v), y(u, v)) . Поэтому производная матрица-строка ( zu , zv ) равна произведению
                                                                           x x 
матрицы-строки ( zx , zy ) на квадратную матрицу  u v  . Сравнивая элементы
                                                                           yu yv 
                                         zu  zx  xu  zy  yu ,
                                        
одинаковых матриц, получим 
                                          z  zx  xv  zy  yv .
                                         v
                                        
                                                         99