Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 98 стр.

    Приращением m -мерной вектор-функции в точке x0 является m -мерный
вектор z  f ( x0  x)  f ( x0 )  ( f1 ( x0  x)  f1 ( x0 ),..., f m ( x0  x)  f m ( x0 )) .
    Признаком дифференцируемости вектор-функции в точке x0  ( x10 , x02 ,..., x0n )
является то, что приращение функции, соответствующее бесконечно малому
приращению аргумента является результатом линейного преобразования
этого бесконечно малого приращения. Линейное отображение пространства R n
в пространство R m задается матрицей размера m  n . Поэтому условием
дифференцируемости m -мерной вектор-функции n переменных является
существование такой матрицы A размером m  n , что для любого n -мерного
вектора приращений аргумента x справедливо
     z  f ( x0  x)  f ( x0 )  A x   , где вектор   (1 ,2 ,..., m ) удовлетворяет
                                     12   22  ...   m2
условию                lim                                    0 . Матрица A называется производной
                 ( x0 x, x0 )0     ( x0  x, x0 )
матрицей и состоит из значений всех частных производных всех координатных
функций,       входящих         в       вектор-функцию, в данной    точке:
    f  ( x ) f  ( x ) ... f  ( x ) 
     x
      1 1 0     1 2 0      x  1 n 0            x          
                                                         
       f  (x )        f 2x2 ( x0 ) ...    f 2xn ( x0 )   
A   2 x1 0
                                                                            m, n
                                                                         
                                                               f
                                                            ix j ( x0 )  i 1, j 1 .
          ...               ...      ...       ... 
                                                         
      f m 1 ( x0 )   f mx2 ( x0 ) ...    f mxn ( x0 ) 
          x


                 Производная матрица суперпозиции вектор-функций

      Пусть z  f ( x), x  D, – m -мерная вектор-функция n переменных. То есть,
x  ( x1, x2 ,..., xn ) . Пусть x  g ( y), y  S , – n -мерная вектор-функция k переменных.
То есть, y  ( y1, y 2 ,..., y k ) . Очевидно, что если подставить g ( y) вместо переменной
x в выражение z  f ( x) , мы получим новую функцию, называемую
суперпозицией двух вектор-функций: z  h( y)  ( f g )( y), y  S , которая является
m -мерной вектор-функцией k переменных.
      Предположим, что вектор-функция g ( y) дифференцируема в точке y0  S , и
соответствующей производной матрицей является матрица B . Предположим, что
вектор-функция              f ( x)    дифференцируема в точке               x0  g ( y0 )  D , и
соответствующей производной матрицей является матрица A . Тогда вектор-
функция h( y)  ( f g )( y) дифференцируема в точке y0 , и производной матрицей
суперпозиции является матрица C  A  B .

                                                            Якобиан

    Пусть z  f ( x), x  D, – n -мерная вектор-функция n переменных,
дифференцируемая в точке x0 . В данном случае производная матрица является
                                                                    98