Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 97 стр.

        Касательная плоскость к поверхности, заданной в явном виде

        Рассмотрим поверхность z  f ( x, y) , заданную над плоской областью D .
Касательной плоскостью к поверхности в точке M 0 с координатами
( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) называется плоскость, проходящая через точку M 0 и
характеризующейся тем свойством, что в этой плоскости лежат касательные ко
всем кривым, лежащим на данной поверхности и проходящим через точку M 0 . В
частности, в касательной плоскости лежат касательные к кривым, полученным в
пересечении поверхности с плоскостями x  x0 и y  y0 , рассмотренные в
предыдущем параграфе.




      Направляющие векторы этих касательных – векторы (0,1, f y ( x0 , y0 )) и
(1,0, f x( x0 , y0 )) . Нормальный вектор n к касательной плоскости перпендикулярен
каждому из этих направляющих векторов, следовательно, за нормальный вектор
                                                                  i j                 k
можно взять векторное произведение                             n 0 1         f y ( x0 , y0 ) . Таким образом,
                                                                  1 0         f x( x0 , y0 )
n  ( f x( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1) . Записывая уравнение плоскости с данным
нормальным вектором, проходящей через данную точку, получим: уравнение
плоскости, касательной к поверхности z  f ( x, y) в точке ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид
                           z  z0  f x( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f y( x0 , y0 )  ( y  y0 ) .

          Дифференцируемость вектор-функции многих переменных

     Вектор-функцией z  f ( x)  ( f1 ( x1, x2 ,..., xn ), f 2 ( x1, x2 ,..., xn ),..., f m ( x1, x2 ,..., xn )) ,
размерности m , заданной на множестве D из пространства R n , назовем закон, по
которому каждой точке x  D ставится в соответствие точка z из m -мерного
пространства ( z  R m ). Каждая из функций, являющихся координатами вектор-
функции, называется координатной функцией. Примером вектор-функции
размерности        2       двух   переменных         служит             z  ( x(r, ), y(r, )) ,            где
x  r  cos, y  r  sin  . Нетрудно видеть, что данная вектор-функция задает
соответствие между полярными и декартовыми координатами.

                                                        97