Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 95 стр.

образом: существует матрица-строка (a1, a2 ,..., an ) такая, что для любого
вектора    приращений    аргумента x  (x1, x2 ,..., xn ) имеет   место
представление f ( x0  x)  f ( x0 )  a1 x1  a2 x2  ...  an xn   ,
                                                                                              
       где величина  настолько мала, что                               lim                                0.
                                                                   ( x0 x, x0 )0    ( x0  x, x0 )
     При этом матрица-строка (a1, a2 ,..., an ) называется производной матрицей, а
величина  называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению
с расстоянием  ( x0  x, x0 ) .

    Частные производные. Предположим, что функция z  f ( x)  f ( x1, x2 ,...., xn )
дифференцируема в точке x0  ( x10 , x02 ,..., x0n ) . Как выразить элементы производной
матрицы-строки (a1, a2 ,..., an ) через заданную функцию? Выберем вектор
приращений так, что приращения происходят только по k -му аргументу x k .
Вектор приращений аргумента в этом случае имеет вид x  (0,0,...,0, xk ,0,...,0) ,
следовательно,              ( x0  x, x0 ) | xk | .              Приращение функции примет вид
 f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x01 ,..., x0k  xk ,..., x0n )  f ( x01 ,..., x0n )  ak x k   ,               где
        
 lim           0 . Последние соотношения являются условием дифференцируемости
xk 0 x k

функции g ( xk )  f ( x01 ,...x0k 1 , xk , x0k 1 , ..., x0n ) одной переменной x k в точке x0k . При
этом
                     dg ( xk )                 df ( x10 ,...x0k 1, xk , x0k 1,..., x0n )
               ak                 | k k                                                  |x k  x k .
                        dxk x  x0                                dxk                              0

     Таким образом, k -й элемент производной матрицы-строки является
производной по k -й переменной x k заданной функции в точке x0k при
фиксированных остальных переменных x j  x0j , j  k . Такая производная
называется частной производной функции многих переменных f ( x1, x2 ,...., xn )
по    переменной            xk          в        точке            x0  ( x10 , x02 ,..., x0n )          и обозначается
f ( x1,...., xn )
                     |x x0  f x ( x0 ) . Итак, производная матрица-строка, участвующая в
      xk
                             k



определении условия дифференцируемости функции многих переменных в точке
x0  ( x10 , x02 ,..., x0n ) , состоит из частных производных по соответствующим
переменным в точке x0 :
                                  (a1, a2 ,..., an )  ( f x1 ( x0 ), f x2 ( x0 ),..., f xn ( x0 )) .
       Главная часть приращения функции многих переменных в точке x0 ,
                                                         n                        n
принимающая                теперь          вид         
                                                       k 1
                                                            f x ( x0 )  x   f x ( x0 )  dx k ,
                                                              k
                                                                            k
                                                                               k 1
                                                                                          k                  называется

дифференциалом функции f ( x) в точке x0 и обозначается df ( x0 ) . Таким
образом, связь приращения функции в точке и дифференциала в той же точке
                                                             95