Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 93 стр.

                                 Многомерные пространства

    Мы будем рассматривать n -мерные пространства R n , элементами которых
являются точки x , каждая из которых задается n координатами ( x1, x2 ,..., xn ) . В
случае малой размерности пространства, чтобы не вводить верхние индексы, мы
будем использовать традиционные координаты: x, y, z, u, v, w .
    Расстоянием между точками x и y n -мерного пространства является
величина  ( x, y)  ( x1  y1)2  ( x2  y 2 )2  ...  ( xn  y n )2 .

     Функцией n переменных z  f ( x)  f ( x1, x2 ,..., xn ) , заданной на множестве
D из пространства R n , назовем закон, по которому каждой точке x  D ставится в
соответствие вещественное число z . Примером функции двух переменных,
заданной на всей плоскости XOY , является уже рассмотренная функция
    x2 y 2
z  2  2 , графическая зависимость которой изображается с помощью
    a b
эллиптического параболоида.


                        Предел функции многих переменных.
      Понятие предела функции в точке переносится с функций одной переменной
на функции многих переменных z  f ( x), x  D,             следующим образом.
z0  xlim
       x
          f ( x) , если для любого   0 существует такое значение    ( )  0 , что
         0

для любых точек x  D , таких что  ( x, x0 )   , выполняется неравенство
| f ( x)  z0 |  .
       В случае функций двух переменных для вычисления предела в точке удобно
переходить к полярным координатам в окрестности этой точки, а в случае
функции трех переменных – к сферическим координатам.

                                            ln( x  e y )
      П р и м е р 1. Найти lim
                           x1
                                                          . Переходя к полярным координатам в
                                       y 0
                                              x y
                                                2     2


окрестности точки (1,0) , запишем x  1 r  cos, y  r  sin  . Очевидно, что точка с
координатами ( x, y) стремится к точке с координатами (1,0) тогда и только тогда,
                                                                     ln(1  r  cos  ersin )
когда r  0 . Следовательно, искомый предел равен lim                                            .
                                                                r 0
                                                                        1  r 2  2  r  cos 
Последний предел – это предел функции одной переменной r , непрерывной по r
при        r  0 для любого значения  .           Поэтому мы получаем ответ:
     ln( x  e )
              y
lim
x1
                  ln 2 .
y 0
       x y
         2    2




                                                    93