Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 94 стр.

                                       2 x y  z
     П р и м е р 2. Найти lim                        . Переходя к сферическим координатам в
                          x 0       x  2  y3  z3
                                     3
                              y 0
                              z 0

окрестности точки (0,0,0) , положим x  r  cos  sin , y  r  sin   sin ,
     z  r  cos . Точка с координатами ( x, y, z) стремится к точке (0,0,0) тогда и
только тогда, когда r  0 . Следовательно, искомый предел после перехода к
сферическим координатам и сокращения числителя и знаменателя на величину r 3
                     2  cos  sin 2   cos
равен limr 0 (cos3   2  sin 3  )  sin 3  cos3
                                                       . Очевидно, что данный предел не

существует, так как полученное после сокращения выражение не зависит от
переменной r , а зависит только от значений  и  . Ответ: предел не
существует.

            Непрерывность функции многих переменных в точке.

          Как и в случае функций одной переменной, функция многих переменных
z  f ( x), x  D, называется непрерывной в точке x0  ( x10 , x02 ,..., x0n ) , если точка x0
входит в область определения функции D и f ( x0 )  xlim
                                                      x
                                                             f ( x) .
                                                                0

     Из определения предела функции многих переменных следует, что в случае,
когда функция f ( x) непрерывна в точке x0 , для любого   0 существует такое
значение    ( )  0 , что для любых точек x  D , таких что  ( x, x0 )   ,
выполняется     неравенство     | f ( x)  f ( x0 ) |  . Таким образом, малым
приращениям аргумента (в смысле расстояния в пространстве R n ) у функции,
непрерывной в точке, соответствуют малые приращения функции.
         Как и в случае функций одной переменной, арифметические действия
над непрерывными функциями не выводят из класса непрерывных функций, если
нет деления на 0.

             Дифференцируемость функции многих переменных

     Требование дифференцируемости функции многих переменных в точке
является более сильным, чем требование непрерывности функции в точке, так как
не только обеспечивается малость приращения функции при малом приращении
аргумента. Условие дифференцируемости состоит в том, что приращение
функции, соответствующее бесконечно малому приращению аргумента,
является результатом линейного преобразования этого бесконечно малого
приращения аргумента.
     Вспомним, что               приращение аргумента функции многих переменных
является n -мерным вектором, а линейное отображение n -мерного вектора в
пространство размерности 1 задается матрицей-строкой размера 1 n . Поэтому
условие            дифференцируемости             функции             многих      переменных
z  f ( x)  f ( x , x ,...., x ) в точке x0  ( x0 , x0 ,..., x0 ) формулируется следующим
                  1 2          n                  1 2           n


                                               94