Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 104 стр.

     Прежде всего, найдем критические точки заданной функции, решив систему
                           2 x  y  2  0,
                          
                           x  2 y 1  0.
    Данная система имеет единственное решение, и мы получаем критическую
точку (1,0). Эта точка лежит внутри заданной области, поэтому мы вычисляем в
этой точке значение функции: z(1,0)  1.
    Теперь переходим к граничным точкам. Заданная область имеет 3
прямолинейных граничных участка: 1) x  0, -2  y  2 , 2) 0  x  2, y  x  2 ,
    3) 0  x  2, y   x  2 .
    На участке 1) z  z1 ( y)  y 2  y,  2  y  2 . Функция z1( y) на отрезке [-2,2]
принимает наибольшее значение, равное 6, в точке 2 (конец отрезка), и
наименьшее значение, равное -1/4, в критической точке -1/2.
    На участке 2) z  z2 ( x)  x2  x( x  2)  ( x  2)2  2x  ( x  2)  x2  3x  2 ,
     0  x  2 . Функция z2 ( x) принимает на отрезке [0,2] наибольшее значение,
равное 2, в точке 0 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -1/4, в
критической точке 3/2.
    На участке 3) z  z3 ( x)  x2  x( x  2)  ( x  2)2  2x  ( x  2)  3x2  9x  6 ,
     0  x  2 . Функция z3 ( x) принимает на отрезке [0,2] наибольшее значение,
равное 6, в точке 0 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -3/4, в
критической точке 3/2.
    Получив значения в критической точке и наибольшие и наименьшие
значения на отрезках границы (-1, 6, -1/4, 2, -3/4), мы выбираем среди них
наибольшее и наименьшее. Это значения 6 (наибольшее значение данной
функции в заданном треугольнике) и -1 (наименьшее значение данной функции в
заданном треугольнике). Трехмерное изображение соответствующей поверхности
выглядит следующим образом.
    minmax.wxm


                           Метод наименьших квадратов

    Поиск локальных экстремумов функции двух переменных активно
применяется в задаче о проведении прямой линии, наиболее близкой к n
заданным точкам на плоскости. Известно, что через одну точку можно провести
бесчисленное множество прямых, через две точки – единственную прямую. Через
произвольные 3 точки прямую провести нельзя. Тем более, через 5 точек. Но
представим, что проведены замеры в 5 точках (x=1, x=2, x=3, x=4, x=5). Значения,
полученные при замерах, соответственно, равны: y=1, y=1, y=2, y=5, y=6.
    Нанесем результаты наблюдений на плоскость. Мы видим, что если
соединить точки последовательно, полученная линия будет близка к прямой.



                                               104