Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 107 стр.

подобласти начинают стягиваться в точки, при этом их количество бесконечно
возрастает. Предел интегральных сумм, если он существует, не зависит от
способа разбиения исходной области на подобласти и от способа выбора
точек i  Di , называется интегралом от функции f ( x) по области D и
обозначается          f ( x) dm .
                     D
                                      Интегралы от непрерывных функций по областям с

непрерывными границами существуют. С помощью кратных интегралов
вычисляют объемы тел, их массу, центр тяжести…. Вычисляются кратные
интегралы сведением к последовательным интегрированиям по отрезкам с
применением формулы Ньютона-Лейбница. Мы рассмотрим подробно случаи
n  2 и n  3 , то есть, двойные и тройные интегралы.


                               Двойной интеграл.
    В качестве основной задачи, приводящей к двойному интегралу от функции
двух переменных, рассмотрим задачу вычисления объема цилиндроида – тела,
ограниченного снизу плоскостью XOY, сбоку – цилиндрической поверхностью, и
сверху – поверхностью z  f ( x, y), ( x, y)  D .




    Здесь f ( x, y) – непрерывная функция в каждой точке области D , граница
которой – непрерывная кривая. Разбивая D на подобласти Di и заменяя
цилиндроид с основанием Di и верхней поверхностью z  f ( x, y) цилиндром
высоты f (i ,i ) , где (i ,i ) – произвольная точка из Di , найдем приблизительное
                                      l
значение объема, равное              
                                     i 1
                                          f (i ,i )  S ( Di ) . Стягивая подобласти   Di в точки и тем
самым увеличивая количество этих подобластей, мы будем уточнять величину
объема исходного цилиндроида. Предел интегральных сумм называется двойным
интегралом     от     f ( x, y) по     области     D    и     обозначается
D f ( x, y) ds  D f ( x, y) d  D f ( x, y) dx dy .   В данном случае функция             f ( x, y)

положительна. В общем случае подынтегральная функция может произвольно
менять знак.


                                                        107