Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

109
Участки границы области D, проецирующиеся на интервал
( , )ab
, заданы
уравнениями соответственно
1
()yx
и
2
( ),yx
12
( ) ( )xx

,
a x b
. В
этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного
интеграла по следующей формуле:
2
1
()
()
( , ) ( , )
x
b
Da
x
f x y dxdy f x y dy dx




.
В случае, когда область D не является выпуклой в направлении OY,
разобьем область D на подобласти, выпуклые в направлении OY прямыми,
параллельными осям координат или будем проецировать область на ось OY и
сделаем в повторном интеграле внешний интеграл по переменной y.
Для вычисления двойного интеграла
2
1
()
()
( , ) ( , )
x
b
Da
x
f x y dxdy f x y dy dx




с
помощью пакета программ MAXIMA следует ввести команду
12
integrate(integrate(f(x,y),y, (x), (x)),x,a,b)

и нажать Shift+Enter.
Замена переменных в двойном интеграле.
Если переменные
в двойном интеграле являются функциями
переменных
и , ( , ) ,u v u v 
то двойной интеграл от функции
( , )f x y
по области
D
равен интегралу по области
от функции
( ( , ), ( , ))f x u v y u v
, умноженной на
модуль якобиана
( , )
( , )
xy
uv
. То есть, справедлива формула
( , )
( , ) ( ( , ), ( , ))
( , )
D
xy
f x y dxdy f x u v y u v dudv
uv
.
Пример. Пусть область
D
– сектор круга радиуса 1, расположенный между
лучами
0 и = /3
. 
    Участки границы области D, проецирующиеся на интервал (a, b) , заданы
уравнениями соответственно y  1( x) и y  2 ( x), 1( x)  2 ( x) , a  x  b . В
этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного
интеграла по следующей формуле:
                                                 b 2 ( x )                 
                           D   f ( x, y)dxdy   
                                                       
                                                 a  1 ( x )
                                                                f ( x, y)dy  dx .
                                                                             
                                                                             
     В случае, когда область D не является выпуклой в направлении OY,
разобьем область D на подобласти, выпуклые в направлении OY прямыми,
параллельными осям координат или будем проецировать область на ось OY и
сделаем в повторном интеграле внешний интеграл по переменной y.




                                                                                        b 2 ( x )              
     Для вычисления двойного интеграла                            D   f ( x, y)dxdy   
                                                                                              
                                                                                        a  1 ( x )
                                                                                                       f ( x, y)dy  dx с
                                                                                                                 
                                                                                                                 
помощью       пакета        программ     MAXIMA        следует    ввести                                      команду
integrate(integrate(f(x,y),y,1(x),2 (x)),x,a,b) и нажать Shift+Enter.


                     Замена переменных в двойном интеграле.
    Если переменные x и y, ( x, y)  D, в двойном интеграле являются функциями
переменных u и v, (u, v) , то двойной интеграл от функции f ( x, y) по области
D равен интегралу по области  от функции f ( x(u, v), y(u, v)) , умноженной на
                      ( x, y)
модуль якобиана                . То есть, справедлива формула
                      (u, v)
                                                   ( x, y)
    D f ( x, y)dx dy   f ( x(u, v), y(u, v)) (u, v) du dv .

     Пример. Пусть область D – сектор круга радиуса 1, расположенный между



лучами   0 и  = /3 .


                                                    109

Страницы