Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

111
( , , ) .
i i i i i
MV
Эти вычисления выполним для всех частей, на которые мы
разбили тело. Складывая полученные произведения, найдем массу
M
тела
B
:
1
( , , ) .
n
i i i i
i
MV

Точное значение массы найдем, если справа перейдем к пределу, когда число
разбиений
n
стремится к бесконечности, а все фрагменты
i
B
стягиваются в точку,
то есть наибольший из диаметров фрагментов, называемый диаметром разбиения,
стремится к нулю:
1
max 0
lim ( , , ) .
i
n
i i i i
n
i
d
MV
 


Предел интегральных сумм называется тройным интегралом от
( , , )x y z
по области
B
и обозначается
. В данном
случае функция
( , , )x y z
положительна. В общем случае подынтегральная
функция может произвольно менять знак.
Свойства тройного интеграла.
1. Линейность. Тройной интеграл от линейной комбинации двух
функций равен той же линейной комбинации тройных интегралов от этих
функций
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) .
BB
B
f x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz
g x y z dxdydz




2. Аддитивность. Если трехмерная область
B
разбита на две части
1
B
и
2
B
, то
12
( , , ) ( , , ) ( , , )
B B B
f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz
.
3. Сохранение неравенства.
Если
( , , ) ( , , )f x y z g x y z
всюду в
B
, то
.( , , ) ( , , )
BB
f x y z dxdydz g x y z dxdydz
Следствие. Если
M
и
m
есть соответственно наибольшее и наименьшее
значения функции
( , , )f x y z
в трехмерной области
B
, имеющей объем
V
, то
( , , )
B
m V f x y z M V

.
4. Теорема о среднем. Если функция
( , , )f x y z
непрерывна в трехмерной
замкнутой области
B
, то в этой области найдется по крайней мере одна точка
( , , ),
для которой справедливо равенство 
M i   (i ,i , i )Vi . Эти вычисления выполним для всех частей, на которые мы
разбили тело. Складывая полученные произведения, найдем массу M тела B :
                                      n
                              M    (i ,i ,  i )Vi .
                                     i 1
     Точное значение массы найдем, если справа перейдем к пределу, когда число
разбиений n стремится к бесконечности, а все фрагменты Bi стягиваются в точку,
то есть наибольший из диаметров фрагментов, называемый диаметром разбиения,
стремится к нулю:
                                                 n
                            M  n
                                 lim            
                                                i 1
                                                      (i ,i ,  i )Vi .
                                   max di 0


     Предел интегральных сумм называется тройным интегралом от  ( x, y, z)
по области B и обозначается                            ( x, y, z) dV    ( x, y, z) dx dy dz .   В данном
                                                      B                           B
случае функция  ( x, y, z) положительна. В общем случае подынтегральная
функция может произвольно менять знак.


                             Свойства тройного интеграла.
        1. Линейность. Тройной интеграл от линейной комбинации двух
    функций равен той же линейной комбинации тройных интегралов от этих
    функций
              f ( x, y, z)    g ( x, y, z)  dx dy dz     f ( x, y, z) dx dy dz 
               B                                                                      B

                  g ( x, y, z) dx dy dz.
                    B
          2. Аддитивность. Если трехмерная область B разбита на две части B1 и
    B2 , то
          B f ( x, y, z) dx dy dz  
                                        B
                                           f ( x, y, z) dx dy dz   f ( x, y, z) dx dy dz .
                                                                    B
                                            1                                 2




        3. Сохранение неравенства.
    Если f ( x, y, z)  g ( x, y, z) всюду в B , то
                          
                           B
                              f ( x, y, z)dx dy dz   g ( x, y, z)dx dy dz.
                                                      B
    Следствие. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее
        значения функции f ( x, y, z) в трехмерной области B , имеющей объем
          V , то m V   f ( x, y, z )  M V .
                              B
          4. Теорема о среднем. Если функция f ( x, y, z) непрерывна в трехмерной
   замкнутой области B , то в этой области найдется по крайней мере одна точка
   ( , , ), для которой справедливо равенство

                                                           111

Страницы