Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

112
,( , , ) ( , , )
B
f x y z dxdydz f V

где
V
объем области
B
.
Вычисление тройного интеграла.
Вычисление тройного интеграла, как и вычисление двойного интеграла,
сводится к последовательным вычислениям интегралов по отрезкам.
Пусть любая прямая, параллельная оси OZ пересекает данное тело
B
либо
по одному отрезку, либо касается его в одной точке. Проекцией тела на плоскость
XOY является область. Обозначим ее
D
.
Пусть уравнения поверхностей, ограничивающих тело снизу и сверху (в
направлении движения по оси OZ) соответственно,
1
( , ), ( , )z x y x y D

, и
2
( , ),( , )z x y x y D

. Теперь тройной интеграл можно записать в виде двойного
интеграла по области
D
от интеграла по отрезку с переменными пределами:
Пусть уравнения кривых, ограничивающих область
D
снизу и сверху (в
направлении движения вдоль оси OY)
1
( ), ,y x x a b



, и
2
( ), ,y x x a b



.
Тогда
22
11
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
x x y
b
a
x x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz


.
Для вычисления интеграла
22
11
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
x x y
b
a
x x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz


с
помощью пакета программ MAXIMA следует ввести команду
12
12
(x,y) (x,y)),integrate(integrate(integrate(f(x,y,z),z, , y, (x), (x)),x,a,b)
и
нажать Shift+Enter.
Замена переменных в тройном интеграле.
Если переменные
, и , ( , , ) ,x y z x y z B
в тройном интеграле являются
функциями переменных
, и , ( , , ) ,u v w u v w 
то тройной интеграл от функции
( , , )f x y z
по трехмерной области
B
равен интегралу по области
от функции 
                         
                          B
                             f ( x, y, z) dx dy dz  f ( ,,  ) V ,

     где V объем области B .

                     Вычисление тройного интеграла.
    Вычисление тройного интеграла, как и вычисление двойного интеграла,
сводится к последовательным вычислениям интегралов по отрезкам.
    Пусть любая прямая, параллельная оси OZ пересекает данное тело B либо
по одному отрезку, либо касается его в одной точке. Проекцией тела на плоскость
XOY является область. Обозначим ее D .




    Пусть уравнения поверхностей, ограничивающих тело снизу и сверху (в
направлении движения по оси OZ) соответственно, z 1( x, y), ( x, y)  D , и
z  2 ( x, y),( x, y)  D . Теперь тройной интеграл можно записать в виде двойного
интеграла по области D от интеграла по отрезку с переменными пределами:
                                                        2 ( x, y )                
                    f ( x, y, z)dxdydz          
                                                        ( x, y )
                                                                     f ( x, y, z)dz dxdy.
                                                                                    
                    B                      D            1                          
     Пусть уравнения кривых, ограничивающих область D снизу и сверху (в
направлении движения вдоль оси OY) y  1( x), x  a, b , и y  2 ( x), x  a, b .
                                b    2 ( x )     2 ( x, y )
Тогда   
         
            f ( x, y, z)dxdydz   dx  dy  f ( x, y, z )dz .
                                 a    ( x)  ( x, y )
                                      1            1
                                                                                b    2 ( x )    2 ( x, y )
     Для вычисления интеграла                   
                                                 
                                                    f ( x, y, z)dxdydz   dx  dy  f ( x, y, z )dz
                                                                         a    ( x)  ( x, y )
                                                                                                               с
                                                                                       1          1

помощью         пакета      программ    MAXIMA          следует      ввести      команду
integrate(integrate(integrate(f(x,y,z),z,1(x,y), 2 (x,y)),y,1(x),2 (x)),x,a,b)     и
нажать Shift+Enter.

                    Замена переменных в тройном интеграле.
       Если переменные x, y и z, ( x, y, z)  B, в тройном интеграле являются
функциями переменных u , v и w, (u, v, w) , то тройной интеграл от функции
f ( x, y, z) по трехмерной области B равен интегралу по области  от функции


                                                          112

Страницы