Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 114 стр.

       Предполагая, что длина i-го фрагмента мала и учитывая, что плотность
непрерывна, получим, что масса этого фрагмента будет приблизительно равна
 (i ,i ,  i )li , при этом чем меньше фрагмент, тем точнее полученная масса этого
фрагмента. Поэтому массу всей нити можно получить, просуммировав массы всех
фрагментов и устремив к нулю длины фрагментов, одновременно увеличивая
количество фрагментов, на которые разбита кривая. Таким образом, выражение
для массы нити будет иметь вид
                                 n
             M  lim
                   max li 0
                    i
                                
                                i 1
                                      (i ,i ,  i )li .
    Обозначая предел интегральной суммы с помощью интеграла, получим
                           M    ( x, y, z)dl .
                                                C
    Правая часть последнего выражения называется криволинейным
интегралом первого рода или криволинейным интегралом по длине дуги.
Заметим, что результат интегрирования не зависит от направления движения по
кривой C, как не зависит от направления измерения масса нити.
       С помощью криволинейного интеграла 1-го рода можно вычислять не
только массу нити, но и другие физические характеристики нити: моменты, центр
тяжести.

      Способ вычисления криволинейного интеграла первого рода.
    Пусть    требуется            вычислить               f ( x, y, z)dl ,
                                                         C
                                                                                 когда         функция    f ( x, y, z)

                                                         x  x(t ),
                                                        
непрерывна на кривой C. Кривая C задана параметрически:  y  y(t ), t [0,T ] ,
                                                         z  z (t ),
                                                        
где функции x(t ), y(t ), z(t ) имеют непрерывные на отрезке [0, T ] производные.
     В этом случае справедлива следующая                 формула для вычисления
криволинейного интеграла:
                                     T

              f ( x, y, z)dl  0 f ( x(t ), y(t ), z(t ))
             C
                                                                 x '(t ) 2  y '(t ) 2  z '(t ) 2 dt .


                        Криволинейный интеграл 2-го рода.

    В качестве основной задачи, приводящей к криволинейному интегралу
второго рода, рассмотрим задачу о вычислении работы силы вдоль кривой.

    Пусть С – кривая в пространстве XYZ с заданным направлением движения
по ней. В каждой точке кривой задан вектор силы

               F ( x, y, z)  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) .

    Следует вычислить работу силы F ( x, y, z) вдоль кривой C.
                                                          114