Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 115 стр.

           Если бы кривая была прямолинейным направленным отрезком r , а сила
F была постоянной вдоль всего этого отрезка, работу мы вычислили бы с
помощью скалярного произведения по формуле A  ( F , r ) .
       Будем полагать компоненты вектора силы P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z)
непрерывными на C функциями. Будем считать кривую C гладкой, то есть такой,
что в каждой точке кривой существует касательная к кривой в этой точке, а при
разбиении кривой точками на дуговые фрагменты и при измельчении такого
разбиения хорда, соединяющая концы дугового фрагмента, становится сколь
угодно близкой к соответствующему дуговому фрагменту.
       Для вычисления работы силы вдоль кривой разобьем кривую C на n
фрагментов точками с координатами ( xi , yi , zi ) так, что при движении в заданном
направлении по кривой параметр i растет. Выберем на i-м дуговом фрагменте
точку с координатами (i ,i , i ) . При измельчении разбиения кривой вектор силы
на        i-м         дуговом              фрагменте             мало     отличается    от   вектора
Fi  ( P(i ,i , i ), Q(i ,i , i ), R(i ,i , i )) вследствие непрерывности компонент
вектора силы. В свою очередь, путь вдоль i-го дугового фрагмента от точки с
координатами ( xi , yi , zi ) к точке с координатами ( xi1, yi1, zi1) при измельчении
разбиения мало отличается от пути вдоль соответствующей хорды.
Прямолинейный                      путь            вдоль            хорды      задается    вектором
ri  ( xi1  xi , yi1  yi , zi1  zi )  (xi , yi , zi ) , причем измельчение разбиения
равносильно стремлению к нулю компонент вектора ri . Таким образом, работа
силы вдоль i-го дугового фрагмента близка к значению Ai  ( Fi , ri ) , и это значение
тем точнее, чем мельче разбиение кривой C.




    Работу вдоль всей кривой C мы получим, если просуммируем значения
работы на всех дуговых фрагментах кривой C, измельчая разбиение и увеличивая
одновременно количество дуговых фрагментов:
                  n                   n

        x 0  i      x 0 
A  maxlim     A  maxlim      P(i ,i ,  i )xi  Q(i ,i ,  i )yi  R(i ,i ,  i )zi .
      i   i      i 1    i       i   i 1
    max yi 0          max yi 0
     i                   i
    max zi 0          max zi 0
      i                  i



     Переходя с помощью предела от интегральных сумм к интегралу, имеем
                 A   ( F , dr )   P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z) dz .
                             C              C
                                                     115