Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 116 стр.

    Интеграл в правой части последнего выражения называется криволинейным
интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам.
Этот интеграл вычисляют только вдоль ориентированных кривых – то есть,
кривых, на которых задано направление. Заметим, что, если мы сменим
направление движения вдоль кривой C на противоположное, а значит, заменим
при вычислении Ai вектор ri на вектор ri , то получим замену знака A на
противоположный знак. Поэтому при задании криволинейного интеграла второго
рода обязательно задают направление движения по кривой интегрирования.

    В случае, когда кривая C замкнута, символ интеграла обычно несколько
изменяют, добавляя пересекающий его кружок:  .



         Способ вычисления криволинейного интеграла второго рода.
       Пусть требуется вычислить  P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz .
                                                    C
                                                                          x  x(t ),
                                                                         
       Кривая C задана параметрически:                                    y  y (t ),     t [0,T ] , где функции
                                                                          z  z (t ),
                                                                         
x(t ), y(t ), z(t ) имеют непрерывные на отрезке [0, T ] производные. В этом случае
мы имеем следующую формулу для вычисления криволинейного интеграла
второго рода:
                         P( x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z )dz 
                             C
  T
  [ P( x(t ), y(t ), z(t )) x '(t )  Q( x(t ), y(t ), z(t )) y '(t )  R( x(t ) y(t ), z(t )) z '(t )]dt .
  0




      Связь между криволинейным интегралом второго рода вдоль
   замкнутой кривой на плоскости и двойным интегралом. Формула
                                         Грина.
    Пусть C – кусочно-гладкая замкнутая кривая, ограничивающая область D. На
кривой C задано такое направление, что при движении в этом направлении
область D остается слева. Функции P( x, y) и Q( x, y) непрерывны в области D
вплоть до ее границы, кроме того, функции Qx ( x, y) и Py ( x, y) также
непрерывны в D вплоть до границы. Тогда справедлива формула Грина
                   P( x, y)dx  Q( x, y)dy   (Qx  Py )dxdy .
                              C                                      D




                                                               116