Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 117 стр.

  Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от
                 пути интегрирования на плоскости.
     В общем случае криволинейный интеграл                    P( x, y)dx  Q( x, y)dy , где кривая
                                                             С
C соединяет точки A и B на плоскости XY, зависит от пути C. Зададимся
вопросом, каким условиям должны удовлетворять функции P( x, y) и Q( x, y) в
области D , чтобы результат интегрирования по любой кривой, лежащей внутри
D , и соединяющей две фиксированные точки, был одинаковым.




    Очевидно, что условие независимости результата интегрирования
криволинейного интеграла по кривой, соединяющей две фиксированные точки
области, от формы этой кривой равносильно условию равенства нулю интеграла
по любой замкнутой кривой, лежащей в этой области.          Действительно,
обозначим через С1 и С2 две кривые, лежащие в D , с общими начальной и
конечной точками. Тогда кривая С  С1 С2 , где знак «-» означает, что
соответствующая кривая проходится в противоположном направлении, будет
замкнутой. Следовательно, соотношение

        С P( x, y)dx  Q( x, y)dy  С P( x, y)dx  Q( x, y)dy  С P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0
                                     1                             2

равносильно тому, что       P( x, y)dx  Q( x, y)dy  С P( x, y)dx  Q( x, y)dy .
                          С1                             2

     Необходимым и достаточным условием того, что                      С P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 ,
где C – любая замкнутая кривая, лежащая в области D , является равенство
P Q
         , выполняющееся всюду в D для непрерывных функций Py и Qx . Для
 y x
доказательства этого факта используется формула Грина.
                                                    P Q
      Заметим, что выполнение условие                          – это условие того, что
                                                    y x
подынтегральное             выражение         P( x, y)dx  Q( x, y)dy    является  полным
дифференциалом некоторой функции U ( x, y) , называемой потенциалом.
                                                            P Q
Действительно, если P( x, y)  U x и Q( x, y)  U y , то                .
                                                                       U xy
                                                            y x
                                                    P Q
      Таким образом, выполнение условие                       обеспечивает представление
                                                     y x
P( x, y)dx  Q( x, y)dy  dU ( x, y) , и криволинейный интеграл от этого выражения по
любой кривой, соединяющей две фиксированные точки                                 A и B с
                                               117