Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 119 стр.

площади поверхности. Заметим, что результат интегрирования не зависит от
выбора стороны оболочки.
    С помощью поверхностного интеграла 1-го рода можно вычислять не только
массу оболочки, но и другие физические характеристики оболочки: моменты,
центр тяжести….

           Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
      Пусть требуется вычислить  f ( x, y, z )ds , когда функция                                      f ( x, y, z)
                                                        S
непрерывна на поверхности S.                Поверхность S задана параметрически:
  x  x(u, v),
 
  y  y (u, v), (u, v) [0,U ][0,V ] , где функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) имеют
  z  z (u, v),
 
непрерывные в прямоугольнике [0,U ][0,V ] частные производные первого
порядка. Формула для вычисления поверхностного интеграла имеет вид:

                                                                       ( x, y) 2 ( y, z) 2 ( z, x) 2
S f ( x, y, z)ds  [0,U 
                          ][0,V ]
                                   f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))   (
                                                                       (u, v)
                                                                               ) (
                                                                                    (u, v)
                                                                                            ) (
                                                                                                 (u, v)
                                                                                                         ) dudv

      В частности, когда поверхность задана в явном виде: z  g ( x, y), ( x, y)  D, мы
имеем формулу           S f ( x, y, z)ds  D f ( x, y, g ( x, y))    1  g x 2  g y 2 dx dy .



                   Поверхностный интеграл второго рода.
    Основной задачей, приводящей к поверхностному интегралу второго рода,
является задача о вычислении потока вектора через поверхность.

    Пусть S – двусторонняя поверхность, то есть такая, что при движении точки
по любому замкнутому пути, лежащему на поверхности, нормаль к поверхности
возвращается в исходное состояние. (Примером односторонней поверхности
является лист Мебиуса). Предположим, что через поверхность S протекает
жидкость, причем скорость течения жидкости (ее направление и величина)
различная в разных точках поверхности S. Таким образом, в точках поверхности
задан вектор скорости:
                 V ( x, y, z)  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) , ( x, y, z)  S .
    Будем считать функции P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) непрерывными на S.
    Потоком вектора V через поверхность                          S назовем объем жидкости,
протекающей через поверхность S в направлении нормали к фиксированной
стороне поверхности за единицу времени. Вычислим поток вектора через
поверхность.
    Будем считать поверхность гладкой, то есть имеющей касательную
плоскость и нормаль в каждой точке. Разделим поверхность на n фрагментов Si ,
настолько малых, что нормаль к этому поверхностному фрагменту в различных
                                                         119