Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

120
его точках практически совпадает с нормалью к
i
S
в одной выбранной на
i
S
точке. Тогда поток
i
вектора
V
через фрагмент
i
S
приблизительно равен
ii
hs
,
где
i
s
– площадь фрагмента,
i
h
– проекция вектора
на направление нормали к
выбранной стороне поверхностного фрагмента
i
S
в точке
( , , )
i i i
. То есть,
i
h
– скалярное произведение вектора
и единичного вектора нормали.
Следовательно,
0
( ( , , ), ( , , ))
i i i i i i i
h V n
,
где
0
( , , ) (cos ,cos ,cos )
i i i i i i
n
- единичный вектор нормали к
поверхностному фрагменту в точке
( , , )
i i i
. Таким образом,
[ ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos ]
i i i i i i i i i i i i i i
P Q R s
, причем значение
i
тем точнее, чем меньше площадь фрагмента
i
S
. Заметив, что площадь
фрагмента
i
S
можно заменить площадью соответствующего фрагмента
касательной в точке
( , , )
i i i
плоскости к S, получим:
( ) ( ) ( )
cos , cos , cos
i i i i i i
i yz i zx i xy
s s s s s s
. Здесь
()i yz
s
– площадь
проекции фрагмента
i
S
на плоскость YOZ, взятая с тем знаком, какой имеет
cos
i
,
()i zx
s
– площадь проекции фрагмента
i
S
на плоскость ZOX, взятая с тем
знаком, какой имеет
cos
i
,
()i xy
s
– площадь проекции фрагмента
i
S
на плоскость
XOY, взятая с тем знаком, какой имеет
cos
i
.
В итоге мы получим следующие выражения для вычисления потока:
()
()
()
0
max 0
( ) ( ) ( )
max 0
1
max 0
max 0
( , ) lim [ ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ]
lim [ ( , , ) ( , , ) ( , , ) ]
i
i yz
i zx
i xy
i i i i i i i i i i i i i
s
S
n
i i i i i i i i i
i yz i zx i xy
s
i
s
s
V n ds P Q R s
P s Q s R s
  
  





.
При переходе к пределу в последнем выражении, учитывая, что пределы
элементов площадей на координатных плоскостях – это произведения
дифференциалов соответствующих координат, получим 
его точках               практически совпадает с нормалью к Si в одной выбранной на Si
точке. Тогда поток  i вектора V через фрагмент Si приблизительно равен hi si ,
где si – площадь фрагмента, hi – проекция вектора V на направление нормали к
выбранной стороне поверхностного фрагмента Si в точке (i ,i , i ) . То есть, hi
– скалярное произведение вектора V и единичного вектора нормали.




      Следовательно,
                                            hi  (V (i ,i , i ), n0 (i ,i , i )) ,
где      n0 (i ,i , i )  (cosi ,cos i ,cos  i ) -         единичный                 вектор         нормали    к
поверхностному                фрагменту              в        точке          (i ,i , i ) .   Таким         образом,
i  [P(i ,i , i )  cosi  Q(i ,i , i )  cos i  R(i ,i , i )  cos  i ] si , причем значение
 i тем точнее, чем меньше площадь фрагмента Si . Заметив, что площадь
фрагмента Si можно заменить площадью соответствующего фрагмента
касательной               в      точке            (i ,i , i )     плоскости                к     S,        получим:
cos i si  si ( yz ) , cos i si  si ( zx) , cos  i si  si ( xy ) . Здесь              si ( yz ) – площадь
проекции фрагмента Si на плоскость YOZ, взятая с тем знаком, какой имеет
cosi , si ( zx) – площадь проекции фрагмента Si на плоскость ZOX, взятая с тем
знаком, какой имеет cos i , si ( xy ) – площадь проекции фрагмента Si на плоскость
XOY, взятая с тем знаком, какой имеет cos  i .
   В итоге мы получим следующие выражения для вычисления потока:
          (V , n0 )ds  lim
                                     max si 0   [P(i ,i ,  i )cos i  Q(i ,i ,  i )cos i  R(i ,i ,  i )cos  i ]si 
                S
                              n
               lim
           max si ( yz ) 0[ P(i ,i ,  i )si ( yz )  Q(i ,i ,  i )si ( zx)  R(i ,i ,  i )si ( xy ) ]
                             i 1
           max si ( zx ) 0
           max si ( xy ) 0

.

    При переходе к пределу в последнем выражении, учитывая, что пределы
элементов площадей на координатных плоскостях – это произведения
дифференциалов соответствующих координат, получим
                                                                       120

Страницы