Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

121
( , , ) ( , , ) ( , , )
S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

.
Выражение в правой части последнего равенства называется
поверхностным интегралом второго рода или поверхностным интегралом по
координатам.
Заметим, что смена стороны поверхности меняет знак вектора нормали
0
n
на
противоположный, поэтому смена стороны поверхности меняет знак
соответствующего интеграла второго рода на противоположный.
Следует отметить, что поверхностный интеграл второго рода иногда
записывают в виде
( ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos )
S
P x y z Q x y z R x y z ds


,
где
cos , cos , cos
– направляющие векторы нормали к поверхности.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода.
Пусть требуется вычислить
( , , ) ( , , ) ( , , )
S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

,
когда функции
( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z
непрерывны на поверхности S.
Поверхность S задана параметрически:
( , ),
( , ),
( , ),
x x u v
y y u v
z z u v
( , ) [0, ] [0, ]u v U V
, где
функции
имеют непрерывные в прямоугольнике
[0, ] [0, ]UV
частные производные первого порядка, причем
2 2 2
( , ) ( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) 0,
( , ) ( , ) ( , )
x y y z z x
u v u v u v
( , ) [0, ] [0, ]u v U V
. В этом случае формула
для вычисления поверхностного интеграла второго рода имеет вид
[0, ] [0, ]
( , )
( , , ) ( , , ) ( , , ) [ ( ( , ), ( , ), ( , ))
( , )
( , ) ( , )
( ( , ), ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , ), ( , )) ] .
( , ) ( , )
S U V
yz
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy P x u v y u v z u v
uv
z x x y
Q x u v y u v z u v R x u v y u v z u v dudv
u v u v



Выбор знаков + или – определяется выбором стороны поверхности.
Связь криволинейного интеграла второго рода по замкнутой кривой в
пространстве с поверхностным интегралом. Формула Стокса
Пусть C – гладкая замкнутая пространственная кривая, S – такая
двусторонняя поверхность, что кривая C является границей этой поверхности.
Тогда справедлива формула Стокса 
                  P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z )dzdx  R(x, y, z )dxdy .
                     S
    Выражение в правой части последнего равенства называется
поверхностным интегралом второго рода или поверхностным интегралом по
координатам.
    Заметим, что смена стороны поверхности меняет знак вектора нормали n0 на
противоположный, поэтому смена стороны поверхности меняет знак
соответствующего интеграла второго рода на противоположный.

    Следует отметить, что поверхностный интеграл второго рода иногда
записывают в виде
      (P( x, y, z)cos  Q( x, y, z)cos   R( x, y, z)cos  )ds ,
        S
     где cos , cos  , cos  – направляющие векторы нормали к поверхности.


              Вычисление поверхностного интеграла второго рода.
     Пусть требуется вычислить                        S P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy ,
когда       функции
                P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) непрерывны на поверхности S.
                                                     x  x(u, v),
                                                    
Поверхность S задана параметрически:  y  y(u, v), (u, v) [0,U ][0,V ] , где
                                                     z  z (u, v),
                                                    
функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) имеют непрерывные в прямоугольнике [0,U ][0,V ]
частные              производные               первого              порядка,       причем
   ( x, y) 2 ( y, z) 2 ( z, x) 2
 (         ) (         ) (         )  0, (u, v) [0,U ][0,V ] . В этом случае формула
   (u, v)      (u, v)      (u, v)
для вычисления поверхностного интеграла второго рода имеет вид
                                                                                                             ( y, z )
     S P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z )dxdy  [0,U][0,V ][P( x(u, v),y(u, v), z (u, v)) (u, v) 
                                        ( z , x)                                  ( x, y)
     Q( x(u, v), y(u, v), z (u, v))               R( x(u, v), y(u, v), z (u, v))          ]dudv.
                                       (u, v)                                     (u, v)
Выбор знаков + или – определяется выбором стороны поверхности.


 Связь криволинейного интеграла второго рода по замкнутой кривой в
      пространстве с поверхностным интегралом. Формула Стокса

    Пусть C – гладкая замкнутая пространственная кривая, S – такая
двусторонняя поверхность, что кривая C является границей этой поверхности.
Тогда справедлива формула Стокса


                                                         121

Страницы