Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 122 стр.

                                         cos  cos  cos 
                                                     
                 C Pdx  Qdy  Rdz  S x y z ds ,
                                           P     Q     R
    где выбор стороны поверхности, а значит, выбор знаков направляющих
косинусов нормали к поверхности определяется заданием обхода по кривой C
следующим образом: если глядеть с конца вектора нормали к поверхности C,
должно быть видно, что обход кривой C совершается против часовой стрелки.




     Следует пояснить, что собой представляет правая часть формулы Стокса.
Под интегралом находится определитель, в верхней строке которого расположены
направляющие косинусы вектора нормали к поверхности S, в средней строке
расположены символические операторы нахождения частных производных, и в
нижней строке расположены функции, представленные в криволинейном
интеграле. Раскладывая определитель по верхней строке, мы получим
поверхностный          интеграл       второго   рода.   Формальное     «умножение»
символического оператора на функцию означает, что от этой функции следует
взять частную производную по соответствующей переменной.
     В частном случае – когда поверхность S – это плоскость XOY, то есть
(cos ,cos  ,cos  )  (0,0,1) , формула Стокса превращается в формулу Грина.


  Связь интеграла по замкнутой поверхности с тройным интегралом по
          телу, ограниченному этой поверхностью. Формула Гаусса-
                                  Остроградского
    Пусть S – двусторонняя замкнутая поверхность, ограничивающая тело V.
Предположим, что функции P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) имеют непрерывные
частные производные в V и непрерывны на S. В этом случае справедлива
формула Гаусса-Остроградского:
                                       P Q R
     S Pdydz  Qdzdx  Rdxdy  
                                  V
                                     (
                                       x
                                          
                                            y
                                                )dxdydz ,
                                                z
    где поверхностный интеграл взят по внешней стороне поверхности S.




                                       122