Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 124 стр.

                        Характеристики векторного поля.
                                   
     Рассмотрим поле вектора V  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) , ( x, y, z)  A .
     Векторной линией данного векторного поля называется линия, касательная
к которой в любой точке параллельна вектору поля, определенному в этой точке.
Примеры: в случае поля скоростей векторные линии называются линиями тока,
в случае электростатического поля – силовыми линиями.
     Выведем систему уравнений, связывающих дифференциалы векторных
линий. Согласно определению вектор (dx, dy, dz) параллелен вектору ( P, Q, R) .
Следовательно, справедливы соотношения
         dx         dy           dz
                                       , которые называются дифференциальными
     P( x, y, z) Q( x, y, z) R( x, y, z)
уравнениями векторных линий в пространстве.

      Дивергенцией данного векторного поля с непрерывно дифференцируемыми
компонентами ( P, Q, R) является скалярная величина
                                P Q R
                         divV              .
                                 x y z
      Термин дивергенция (или расхождение) поля в точке связан с наличием
дополнительных источников или стоков в этой точке. Для того, чтобы не зависеть
от     выбранной координатной системы при определении дивергенции, в
дополнение к аналитическому дадим механическое определение дивергенции.
Пусть точка M 0  A . Возьмем шар Br (M 0 )  A с центром M 0 радиуса r , лежащий
в A . Поверхность этого шара обозначим Sr .
      Сосчитаем поток вектора поля через поверхность Sr в направлении внешней
нормали:
                      Fr   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .
                             Sr

     Согласно формуле Гаусса-Остроградского Fr               
                                                             B (M )
                                                                    divVdx dy dz .   В силу
                                                              r   0

непрерывности дивергенции возможно применение к последнему интегралу
                                     4
теоремы о среднем: Fr  divV (M )  r 3 , где точка M  Br (M 0 ) . Таким образом,
                                     3
 3Fr
        divV (M ) . Пусть теперь r  0 . Тогда вследствие непрерывности
4 r 3
дивергенции divV (M )  divV (M 0 ) . Поэтому мы получаем следующее
определение дивергенции в точке M 0 :
                                                   3Fr
                               divV (M 0 )  lim
                                             r 0 4 r 3
                                                         ,
      где Fr – поток вектора поля через сферу радиуса r с центром в точке M 0 .




                                            124