Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 125 стр.

                                     
    Циркуляцией вектора V  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) , ( x, y, z)  A , вдоль
некоторой замкнутой ориентированной кривой C , находящейся внутри
множества A , назовем следующий криволинейный интеграл второго рода:
                            G   Pdx  Qdy  Rdz   (V , dr ) .
                                         C                  C


    Ротором вектора поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами
назовем следующую векторную величину:
                       
              i  j k
                 R Q    P R    Q P 
     rot V            i         j        k       .
             x y z       y z        z  x      x  y 
             P Q R
    Здесь «умножение» элементов второй строки на элементы третьей строки
означает, что от функции из третьей строки берется соответствующая
производная.
    Ротор иногда называют вихрем, он характеризует вращение поля в данной
точке. Дадим определение ротора, не связанное с выбранной в A координатной
системой. Поскольку ротор – векторная величина, а вектор задается своими
проекциями на определенные направления, определим проекцию ротора в точке
M 0 на заданное направление n0 (cos ,cos  ,cos  ) независимо от координат
вектора поля. Рассмотрим плоскость H с нормалью n0 , содержащую точку M 0 .
Пусть Cr – лежащая в плоскости H окружность радиуса r с центром в точке M 0 ,
ориентированная таким образом, что с конца вектора n0 видно, что она обходится
в положительном направлении. Найдем циркуляцию вектора поля вдоль
окружности Cr :
       Gr    C Pdx  Qdy  Rdz .       В   соответствие       с    формулой        Стокса
               r


               cos  cos  cos 
                           
Gr                            ds   (rot V , n0 )ds , где Dr (M 0 ) – круг радиуса r с
    Dr ( M 0 )
                x    y    z       Dr ( M 0 )
                 P     Q     R
центром в точке M 0 , лежащий внутри окружности Cr . Поверхностный интеграл
в данном случае представляет собой двойной интеграл по плоской области
Dr (M 0 ) . Воспользуемся теперь непрерывностью компонент ротора и теоремой о
среднем для двойного интеграла. Получим Gr  (rot V , n0 ) |M  r 2 , где точка
                               Gr
M  Dr (M 0 ) . Следовательно,       (rot V , n0 ) |M . Пусть теперь r  0 . Тогда
                                r2
вследствие непрерывности компонент ротора имеем (rot V , n0 ) |M  (rot V , n0 ) |M0 .


                                             125