Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 126 стр.

Следовательно, мы получили проекцию ротора в точке M 0 на заданное
направление n0 :

                                                      Gr
                          (rot V , n0 ) |M 0  lim         ,
                                               r 0    r2
    где Gr – циркуляция вектора поля по окружности радиуса r с центром в
точке M 0 , лежащей в плоскости с нормалью n0 и ориентированной так, что с
конца вектора n0 видно, что она обходится против часовой стрелки. Поскольку
вектор задается проекциями на выбранные направления, ротор может быть
определен таким образом.


    Оператор Гамильтона (набла-оператор).

    Для упрощения записи характеристик скалярных и векторных полей был
                                                                    
введен символический векторный оператор, имеющий вид    , ,  .
                                                                 x y z 
Символическое «умножение» этого оператора на какую-то величину означает, что
каждая из компонент   оператора применяется к этой величине.
    Например, если u  u( x, y, z) – скалярная величина, то
                             u u u 
                      u     , ,   grad u .
                             x y z 

    Для векторных величин возможно как скалярное, так и векторное
умножение. Проследим, что дадут такие произведения с   оператором в случае
векторного поля V  ( P, Q, R) .
                                     P Q R
    Скалярное произведение: (,V )           divV .
                                     x y z
                                     i   j k
                                       
    Векторное произведение: [,V ]            rot V .
                                     x y z
                                     P Q R
    Отдельный интерес представляет определенный для скалярных полей
оператор
                                       2u  2u  2u
               (, u)  div(grad u)  2  2  2  u .
                                      x y z
    Такой оператор называется оператором Лапласа. Функции, удовлетворяющие
уравнению Лапласа u  0,( x, y, z)  A, называются гармоническими    в A
функциями.


                                            126