Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 127 стр.

                            Специальные векторные поля.

     Потенциальным                 полем             называется                поле     вектора

V  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) , ( x, y, z)  A , если существует скалярная функция
                                                   U         U       U
U ( x, y, z), ( x, y, z)  A, такая, что P             ,Q       ,R     или V  gradU . При этом
                                                    x         y      z
функция U ( x, y, z) называется потенциалом вектора V .
      Необходимым и достаточным условием того, что поле вектора

V  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) потенциально, является выполнение равенства
                                         i    j k
                                           
                                rot V                  0, ( x, y, z)  A .
                                        x y z
                                        U x U y U z
    Итак, потенциальное векторное поле – это безвихревое, бесциркуляционное
поле, так как циркуляция вдоль любого замкнутого контура согласно формуле
Стокса равна нулю:
                                                    cos  cos  cos 
                                                                
                         Gr   (grad U , dr )                     ds  0 .
                             D                  D
                                                      x    y    z
                                                     U x  U y  U z
     Пример потенциального поля – поле ньютоновского притяжения.

     Соленоидальным                       полем          называется             поле    вектора

V  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) , ( x, y, z)  A , если существует вектор-функция

W  ( L( x, y, z), M ( x, y, z), N ( x, y, z)) , ( x, y, z)  A , такая, что V  rot W или
     N M                L N                 M L
P              , Q                , R          .         В этом случае вектор-функцию
     y z                z x                  x y
W ( x, y, z) называют векторным потенциалом вектора V .
      Необходимым и достаточным условием того, что поле вектора

V  ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) соленоидально, является выполнение равенства
                                     divV  0, ( x, y, z)  A .

    Необходимое и достаточное условие соленоидальности векторного поля на
основе формулы Гаусса-Остроградского обеспечивает равенство нулю потока
вектора поля через любую замкнутую и ограничивающую некоторое тело
поверхность:  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   divV dx dy dz  0
                 S                               V




                                               127